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@@ -25,7 +25,31 @@
     - [Dérivabilité des fonctions](./math/calculus/chap3.md)
     - [Développement de Taylor](./math/calculus/chap4.md)
 - [Algèbre Linéaire](./math/all/index.md)
-    - [Espaces Euclidiens ?](./math/all/chap1.md)
+    - [Les Espaces Vectoriels](./math/all/chap1.md)
+    - [Application Linéaire](./math/all/chap2.md)
+    - [Valeur/Vecteur/Espaces propres](./math/all/vpropres.md)
+    - [Les Matrices](./math/all/matrix.md)
+- [Math Discrète](./math/disc/index.md)
+    - [Initiation à la théorie des graphe](./math/disc/graph.md)
+    - [Nombres Premiers](./math/disc/prime.md)
+    - [Les Relations](./math/disc/relations.md)
+    - [Preuve par Induction](./math/disc/induction.md)
 # Physique générale I
 - [Mecanique](./phys/meca/index.md)
 	- [Chapitre 1](./phys/meca/chap1.md)
+- [Electromagnétisme](./phys/elec/index.md)
+    - [Les Forces Electriques](./phys/elec/chap1.md)
+# Informatique
+- [Algo1](./info/algo1/index.md)
+- [Algo2](./info/algo2/index.md)
+- [fonctionnement des ordinateurs](./info/fdo/index.md)
+    - [Intro](./info/fdo/chap1.md)
+    - [Representation des donnees](./info/fdo/chap2.md)
+    - [Conception logique](./info/fdo/chap3.md)
+    - [Processeur mono-cycles](./info/fdo/chap4.md)
+    - [Assemblage et Compilation](./info/fdo/chap5.md)
+    - [Entrees et sorties](./info/fdo/chap6.md)
+    - [Hierarchie des memoires](./info/fdo/chap7.md)
+# Economie
+- [Chapitre 1 - Introduction à l'économie](./eco/chap1.md)
+- [Chapitre 2 - Comprendre le fonctionnement des marchés](./eco/chap2.md)

src/eco/chap1.md

@@ -0,0 +1,51 @@
+# Introduction à l'économie
+
+> Cette partie ne sert pas car n'est pas dans l'examen pour les infos
+
+
+## Scope
+
+- Quelle quantité produire, a quel prix, comment, facteur de production, d'emploi pour les entreprises
+- Consomation, rôles des différents facteurs (prix, pub, ...) peuvent jouer?
+- Comprendre comment concilier consommation et production.
+
+### Raretée
+
+La raretée dépend de l'écart entre ce que veulent les gens et ce qui peut être produit
+
+- Désir de consomation illimité mais resources limitées
+- 3 facteurs de productions
+    - Travail (limite quantitative et qualitative)
+    - Capital (limite quantitative et qualitative)
+    - Resources
+
+Nous étudions alors comment consommateurs et producteur
+
+## Branches d'études
+
+### La macroéconomie
+
+étude de l'économie comme un tout (PIB, Inflation, Chômage).
+Utilisation optimale des resources comme le chômage, ...
+Dans une optique de croissance durable de l'ensemble de la production
+
+- DG > OG => risque d'inflation, déficit éxtérieurs
+- DG < OG => risque de récéssion, chomage
+
+Le but de la macroéconomie est d'assurer OG = DG via politiques de demande et d'offre
+et une armonie dans la croissance d'OG et DG
+
+### La microéconomie
+
+Etudie l'offre et la demande de biens spécifiques
+
+Répond à 3 questions:
+- Que produire, en quelle quantités?
+- comment produire. Techniques, resources, ...
+- pour qui produire, comment distribuer?
+
+les choix impliquent des sacrificess. la production d'un bien entraine le sacrifice d'au moins un autre.
+Ces choix doivent être rationnels. La comparaison entre cout mariginal (Cm) et bénéfices marginal (Bm).
+- Bm > Cm => intensification de l'activitée
+- Bm < Cm => réduction de l'activitée
+

src/eco/chap2.md

@@ -0,0 +1,77 @@
+# Comprendre le fonctionnement des marchés
+
+## La demande
+
+Quantitée demandée qu'un consommateur souhaite acheter pour un prix donné
+- Toutes choses égales par ailleurs (tecepa)
+- à un moment donné
+
+Demande de marchés = \\( \sum \\) demandes individuelles 
+
+### Loi de la demande
+
+Si le prix augmente, la quantitée demandée diminue:
+- l'éffet revenu: Prix augmente => pouvoir d'achat diminue => Qd augmente/diminue en fct du type de bien
+- l'effet substitution: Prix augmente => Qd diminue et Qd d'autres biens augmente 
+
+### Courbe de demande
+
+représente graphiquement la demande.
+
+x => Quantitée; y => Prix (même si la quantitée dépend du prix); courbe à pente négative
+
+\\[
+    Qd = f(P, ...) \\\\
+    Qd = a - b * P
+\\]
+ 
+où ... = gouts, prix et nombre de biens substituts, ...
+
+où a est l'intercept et -b la pente (= dQd/dP)
+
+Lorsque le prix du bien change, la quantitée demandée change en se déplaçant sur la courbe
+
+Si une autre variable (tecepa/...) change, alors la courbe se déplace.
+- vers la droite si la Qd augmente
+- vers la gauche si la Qd diminue 
+
+## L'offre
+
+Quantitée offerte qu'un producteur souhaite acheter pour un prix donné
+- Toutes choses égales par ailleurs (tecepa)
+- à un moment donné
+
+Offre de marchés = \\( \sum \\) offres individuelles 
+
+### Loi de l'offre 
+
+Si le prix augmente, la quantitée offerte augmente:
+
+### Courbe de demande
+
+représente graphiquement l'offre
+
+x => Quantitée; y => Prix (même si la quantitée dépend du prix); courbe à pente positive 
+
+\\[
+    Qo = f(P, ...) \\\\
+    Qo = c + d * P
+\\]
+ 
+où ... = couts de prod, profitabilité, chocs aléatoires, anticipations, ...
+
+où c est l'intercept et d la pente (= dQo/dP)
+
+Lorsque le prix du bien change, la quantitée offerte change en se déplaçant sur la courbe
+
+Si une autre variable (tecepa/...) change, alors la courbe se déplace.
+- vers la droite si la Qo augmente
+- vers la gauche si la Qo diminue 
+
+## Le prix et quantitée échangée à l'équilibre
+
+- Qd > Qo, (Pénurie) => Prix augmente => Qd diminue et Qo augmente
+- Qd < Qo, (Surplus) => Prix diminue => Qd augmente et Qo diminue
+- Qd = Qo, (Equilibre) => aucune pression sur P
+
+L'équilibre d'un marché est attein par régulation des prix par les lois d'offre et de demande

src/info/algo1/index.md

@@ -0,0 +1 @@
+# Algo1

src/info/algo2/index.md

@@ -0,0 +1 @@
+# Algo2

src/info/fdo/chap1.md

@@ -0,0 +1,68 @@
+# Intro
+
+## Modele d'un Ordinateur
+
+Nous trouvons des processeurs partout. sur ceux-ci nous pouvons faire tourner un grand nombre d'application
+petit ou grand. Ils sont tres polyvalant
+
+Plusieurs categories de processeurs
+- Generalistes
+    - polyvalents
+        - traitement de texte, tableur, ...
+- Serveurs
+    - Specialises, partages
+        - Bdd, streaming, hc
+- Systemes embarques
+    - tres specialises
+        - concus pour une application unique ex: machine a laver, telecommande
+
+Une grande partie des processeurs sont des systems emabarques, Les processeur d'ordinateurs ou de serveurs sont une minoritee
+
+Un oridnateur contient:
+- Processeur
+- Memoire
+- Horloge
+- I/O
+
+## Excution des instructions
+
+Dans un processeur, nous avons des registres, ces registres sont une sorte de memoire des processeur transferee depuis la memoire
+
+Le processeur execute une suite de tache en boucle
+1) lire l'instruction
+2) evaluer l'instruction
+3) executer l'instruction
+4) passer a l'instruction suivante
+
+Le processeur utilise de la memoire, au plus la memoire est loins, au plus le temps d'execution est faible
+
+## Interface Logiciel / Materiel
+
+Les processeurs ont differentes architectures:
+- x86
+- arm
+- mips (avec laquel nous travaillerons)
+- risc-v
+
+Suivant l'architecture, nous avons un "jeu d'instruction" differentes
+
+### Abstraction Materiel
+- Comment simplifier la conception de programmes
+- Comment en augmenter la portabilite
+- Cacher les details materiels du systeme
+- deleguer la gestion des ressources du systeme
+
+Nous avons des languages de haut-niveau et des language de bas niveau
+- Language de bas de niveau
+    - language machine, assembleur
+- Language de Haut niveau
+    - Plus comprehensible par l'humain
+
+le haut-niveau est compile en assembleur et ensuite est assembler en binaire (1/0) qui sont des courant electriques physiques
+
+## Densitee des composants
+
+Les composants des ordinateurs sont de plus en plus petits suivant la loie de moore
+
+Une plus grande frequence des processeur implique une qugmentation du courant necessaire et de la surchaufe ( donc duree de vie ) 
+Les processeurs vont maintenant moduler leurs frequences en fonction de la charge de travaille

src/info/fdo/chap2.md

@@ -0,0 +1,26 @@
+# Representation des donnees
+
+## Notation des Nombres
+
+### Representation decimale
+
+Un nombre naturel x est represente par un mot w compose de N chiffres \\( w _ i \\) pris dans \\(S_{10}\\)
+
+Poids des chiffres: Chaques chiffre d'un mot w est associe a un poids en fonction de sa position
+
+Nombres de possibilitee
+
+pour un mot de N chiffres, nous avons donc 10^N nombre possibles
+
+L'interval de chiffres possibles est de \\([0, 10^N -1]\\)
+
+Pour trouver la taille d'un mot, on a \\(N \geq \lceil log10(x+1)\rceil\\)
+
+## Representation positionnelle generalisee
+
+TODO: Generalisation
+
+representation binaire a partira de generalisation
+
+
+## Nombres dans un Ordinateur

src/info/fdo/chap3.md

@@ -0,0 +1 @@
+# Conception logique

src/info/fdo/chap4.md

@@ -0,0 +1 @@
+# Processeur mono-cycles

src/info/fdo/chap5.md

@@ -0,0 +1 @@
+# Assemblage et Compilation

src/info/fdo/chap6.md

@@ -0,0 +1 @@
+# Entrees et sorties

src/info/fdo/chap7.md

@@ -0,0 +1 @@
+# Hierarchie des memoires

src/info/fdo/index.md

@@ -0,0 +1 @@
+# fonctionnement des ordinateurs

src/math/all/chap1.md

@@ -1,4 +1,4 @@
-# Titre à définir
+# Les Espaces Vectoriels
 
 ## Etudions \\( R^2 \\)
 
@@ -9,6 +9,81 @@
 - Soit \\(V \subseteq \mathbb{R} ^n\\)
     - On dit que V est un **Sous-Ensemble Vectoriel** de \\(\mathbb{R}^n\\) ssi
         1) \\(V \neq \emptyset \\)
-        2) \\(\forall v_1 \in V \quad \forall v_2 \in V v_1 + v_2 \in V \\)
-        3) \\(\forall \lambda \in \mathbb{R} \quad \forall v \in V \lambda * v \in V \\)
+        2) \\(\forall v_1 \in V \quad \forall v_2 \in V \quad v_1 + v_2 \in V \\)
+        3) \\(\forall \lambda \in \mathbb{R} \quad \forall v \in V \quad \lambda v \in V \\)
+
+On peut voir par example que pour \\(\mathbb{R}^3\\) nous avons comme sous-ensemble vectoriel (SEV):
+- \\(\\{(0,0)\\}\\) (L'origine du plan)
+- \\(\\{\lambda \in \mathbb{R} \vert \lambda(x, y)\\}\\) (une droite passant par l'origine du plan)
+- \\(\\{\lambda , \mu \in \mathbb{R} \vert \lambda(x_1, y_1) + \mu(x_2,y_2)\\}\\) (un plan passant par l'origine du repère)
+- \\( \mathbb{R}^3 \\) (l'ensemble lui même)
+
+et nous pouvons ettendre cette definition pour \\(\mathbb{R}^N\\)
+
+## Combinaisons linéaires
+
+- Soit \\(V \subseteq \mathbb{R}^n\\) un SEV
+    - Soient \\(v_1, ..., v_k \in \mathbb{R} \quad \text{Soit } v \in V\\)
+        - On dit que \\(v \\) est une **Combinaison Linéaire** de \\(v_1, ..., v_k\\)
+            - Ssi \\(\exists \lambda_1, ...,  \lambda_k \in \mathbb{R} \quad v = \lambda_1 v_1 + ... + \lambda_k v_k\\)
+> - Examples
+>     - Dans \\(\mathbb{R}^2 \quad (2,3)\\) est une **combinaison linéaire** de (1,0) et (0,1).
+>         - On peut multiplier (1,0) par 2 et (0,1) par 3.
+> - Contre-Example
+>     - Dans \\(\mathbb{R}^3 \quad (1,2,3)\\) n'est pas **combinaison linéaire** de (1,0,0), (0,1,0) et (1,1,0)
+>         - Le système d'équation n'a pas de solutions (3 = 0 est faux) donc imposible, Aucuns réel ne peux multiplier ces vecteurs pour donner (1,2,3)
+
+- Soient \\( v_1 ... v_k \in \mathbb{R}^n\\)
+    - L'**espace vectoriel** engendré par \\(v_1 ... v_k\\), noté \\(<v_1 ... v_k>\\) est l'ensemble des combinaisons linéaire de \\(v^1...v^k\\)
+        - \\(<v_1 ... v_k> = \\{(x_1, ..., x_k) \in \mathbb{R}^n \vert \exists \lambda_1 \in \mathbb{R}...\exists\lambda_k \in \mathbb{R} (x_1, ..., x_k) = \lambda_1 v_1 + ... + \lambda_k v_k\\}\\)
+
+- Soit \\(V \subseteq \mathbb{R}^n \\) un SEV
+    - Soit \\(v_1 ... v_k \in V\\)
+        - On dit que \\(\\{v_1 ... v_k\\}\\) est **une partie (ou famille) génératrice** de V
+            - SSI \\(V = <v_1 ... v_k>\\)
+> - Example
+>     - \\(\\{(1,0,0), (1,0,1)\\}\\) est **une famille génératrice** de \\(<(1,0,0), (1,0,0)>) = \\\{(x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \vert x_2 = 0\\}\\)
+
+Le fait d'ajouter plus de vecteurs que nécéssaires est possible mais n'est pas recommendé car celà ajoute de la complexitée et/ou de l'ambiguitée
+lors de la combinaisons des vecteurs.
+Il pourrait alors y avoir plusieurs combinaisons différentes pour la même solutions
+
+## Dépendance linéaire
+
+Qu'est ce que des vecteur linéairement dépendants ?
+
+- Soient \\(v_1 ... v_k \in \mathbb{R}^n\\)
+    - On dit que les vecteurs \\(v_1 ... v_k\\) sont **linéairement dépendant**
+        - SSI \\(\exists \lambda_1, ..., \lambda_k \in \mathbb{R}\\) **non-tous nuls**
+            - tel que \\(\lambda_1 v_1 + ... + \lambda_k v_k = \vec{0}\\)
+                - C'est un ensemble de vecteurs tel que le vecteurs nul en est leurs combinaison linéaire (ou les facteurs sont différents de tous 0)
+    - On dit que les vecteurs \\(v_1 ... v_k\\) sont **linéairement indépendant**
+        - SSI \\( \forall \lambda_1, ..., \lambda_k \in \mathbb{R} \displaystyle\sum_{i=1}^{k} \lambda_i vi = 0 \implies \lambda_1 = ... = \lambda_k = 0 \\) 
+            - La seule combinaison linéaire pour obtenir le vecteur nul est de multiplier tout les vecteurs par 0
+
+Un ensemble de vecteurs linérairement indépendant est appelé une **Partie ou famille libre **
+
+- Soit \\( L: V_1 \to V_2 \\) Une application linéaire tq \\( Ker(L) = {0} \\) 
+    - Si \\( \\{ v_1, ... v_k \\} \\) est une famille libre dans \\( V_1 \\) 
+        - Alors \\( \\{ L(v_1), ..., L(v_2) \\} \\)  est une famille libre dans \\( V_2 \\) 
+
+## Base
+
+- Soit \\( V \subseteq \mathbb{R}^n \\) un SEV
+    - Soient \\( v_1, ..., v_k \in V \\) 
+        - On dit que \\( \\{ v_1, ..., v_k \\}\\) est une **base de V** ssi, et
+            - \\( \\{ v_1, ..., v_k \\}\\) est une **famille libre**
+            - \\( \\{ v_1, ..., v_k \\}\\) est une **famille génératrice de V**
+    - B_1 et B_2 des bases de V:
+        - \\( |B_1| = |B_2| \\) 
+
+- Soit \\( V \subset \mathbb{R}^n \\) 
+    - Soit \\( B \text{ une Base de } V \\) constituée de \\( k \\) éléments
+        - On dit que V est de **Dimention** k. noté \\( dim(V) = k \\) 
+
+- Soit \\( V \\) un sous-espace vectoriel de \\( \mathbb{R}^n \\)
+    - Soit \\( B: \\{ v_1, ..., ...v_k \\} \\) une base de V.
+        - Soit \\( v \in V \quad v = \lambda_1 * v_1 + ... + \lambda_k * v_k \\) 
+            - \\( (\lambda_1, ..., \lambda_k) \\) sont **les coordonées de v dans la base B**
+
 

src/math/all/chap2.md

@@ -0,0 +1,62 @@
+# Application Linéaire
+
+Nous parlons maintenant de fonctions.
+
+Nous avons vu les fonctions:
+
+- **Injective**: \\( \forall a_1, a_2 \in A \quad  a_1 \neq a_2 \implies f(a_1) \neq f(a_2)\\) 
+- **Surjective**: \\( \forall b \in B \exists a \in A \quad f(a) = b \\)  (Tout les points sources ont une destination)
+- **Bijective**: Injective & Surjective
+
+[Rappels Fonctions](/math/logique/fonctions.md)
+
+## Application Linéaire
+
+- Soient \\( V_1, V_2 \subseteq \mathbb{R}^n \\)
+    - On dit que \\( L: V_1 \to V_2\\) est une **Application Linéaire**  ssi
+        1) \\( \forall u, v \in V_1 \quad L(u+v) = L(u) + L(v) \\) 
+        2) \\( \forall \lambda \in \mathbb{R} \quad L(\lambda v) = \lambda L(v) \\) 
+
+| Exemples  | Contre-Exemples |
+| --------- | --------------- |
+| L(x) = x  | L(x) = \|x\|    |
+| L(x) = 2x | L(x) = 2x + 1   |
+|           | L(x) = x²       |
+|           | L(x) = sin(x)   |
+
+## Image et Noyaux
+
+- Soit \\( L: V_1 \to V_2 \\) Une application Linéaire
+    - \\( Ker(L) = \\{ v \in V_1 \mid L(v)=0 \\} \\) Noyau de L
+    - \\( Im(L) = \\{ v \in V_2 \mid \exists u \in V_1 \quad L(u) = v \\} \\) Image de L
+
+### Théorem du Rang
+
+- Soit \\( L: V_1 \to V_2 \\) 
+    - \\( Dim(Ker(L)) + Dim(Im(L)) = Dim(V_1) \\) 
+
+## Matrice → Application Linéaire
+
+- Soit \\( M \in \mathbb{R}^{n \times m} \\) 
+    - L'application linéaire associée à \\( M \\) notée \\( L_M \\) 
+        - \\( L_M : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n \quad \text{ définit par } L_M(v)= \underset{n \times m}{M} \cdot \underset{m \times 1}{v} \\) 
+
+## Application Linéaire → Matrice
+
+\\[
+    L: V_1 \to V_2 \leadsto M_L^{B_1 \to B_2}
+\\]
+
+1) Choisir une Base \\( B_1 = \\{ e_1, ..., e_n \\} \text{ de } V_1 \text{ et } B_2 = \\{ E_1, ..., E_k \\} \text{ de } V_2\\)
+2) Pour chaques \\( e_i \in B_1 \text{, calculer} L(e_i)\\) 
+3) Pour chaques \\( e_i \in B_1 \text{, exprimer } L(e_i) \text{ comme combi. li. de } E_1 ... E_k \\)
+4) Transformation en matrice 
+5) On peut ensuite faire un "Sanity Check" en fesant l'opération inverse
+
+## Composé d'application linéaires
+
+On parle de \\( L_2 \circ L_1 \\) pour \\( L: V_1 \to V_2 \to V_3 \\)
+
+On veut \\( M_{L_2 \circ L_1}^{B_1 \to B_3} \\)
+
+Pour ca on fait : \\( M_{L_2}^{B_2 \to B_3} * M_{L_2}^{B_1 \to B_2} \\) 

src/math/all/matrix.md

@@ -0,0 +1,217 @@
+# Les Matrices
+
+On considére un system:
+
+\\[
+    \begin{cases}
+        x - 2y + 3z = 4 \\\\
+        2x + y - 4z = 3 \\\\
+        -3x + 5y -z = 0 
+    \end{cases}
+\\]
+
+Un système est caractérisé par ses cohéfficients et par les thermes indépendants.
+Les nombres sont placés à des positions bien précises.
+On peut représenter ces nombres dans un tableau
+
+\\[
+    \begin{pmatrix}
+        1   &-2 &3  &4 \\\\
+        2   &1  &-4 &3 \\\\
+        -3  &5  &-1  &0
+    \end{pmatrix}
+    \text{ On dit que M est une matrice de taille } 3 * 4
+\\]
+
+Une matrice de taille \\( m * n \quad  (m,n \in \mathbb{N}_ 0 ) \\) est un tableau
+dont les éléments sont rangés selon m lignes et n colonnes
+
+\\[
+    A = \begin{pmatrix}
+        a_{11} &a_{12} &\cdots &a_{1n} \\\\
+        a_{21} &a_{22} &\cdots &\vdots \\\\
+        \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\
+        a_{m1} &\cdots &\cdots &a_{mn}
+    \end{pmatrix}
+    a_{23} \text{ est situé 2e ligne, 3e colonne } \\\\
+    A = (a_{ij} a_{ij} \text{ est un terme de } A)
+\\]
+
+## Operations sur les matrices
+
+### Egalitée
+
+ \\( A = B \iff A \text{ et } B \\) ont la même taille et \\( a_{ij} = b_{ij} \quad \forall i,j \\) 
+
+### Transposition
+
+\\( A^t \\)  est la matrice dont les lignes et les colonnes de \\( A \\)  sont inversée
+
+#### Exemple
+
+\\[
+    A = \begin{pmatrix}
+        1 &2 \\\\
+        3 &4
+    \end{pmatrix}
+    A^t = \begin{pmatrix}
+        1 &3 \\\\
+        2 &4
+    \end{pmatrix}
+\\]
+
+### Produit par un scalaire
+
+- Soit \\( A \in \mathbb{R}^{m * n} \quad k \in \mathbb{R}   \\) 
+    - La matrice \\( k * a \\) est une matrice \\( B \\) de taille \\( m * n \\) tel que
+        - \\( b_{ij} ka_{ij} \quad \forall i,j \\) 
+
+#### Exemple
+
+\\[
+    2\begin{pmatrix}
+        1 &2 &3\\\\
+        4 &5 &6
+    \end{pmatrix}
+    = \begin{pmatrix}
+        2 &4 &6\\\\
+        8 &10 &12
+    \end{pmatrix}
+\\]
+
+### Produit de 2 matrices
+
+
+\\[
+    A * B = C \quad 
+    \begin{align}
+        c_{ij} &= a_{ij} * b_{ij} + ... a_{in} * b_{nj} \\\\
+        &= \displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_{ik} * b_{kj}
+    \end{align}
+\\] 
+
+#### Exemple
+
+\\[
+    \begin{pmatrix}
+        2 &1 &-1 \\\\
+        3 &0 &2
+    \end{pmatrix} * 
+    \begin{pmatrix}
+        1 \\\\
+        -2 \\\\
+        2 
+    \end{pmatrix} =
+    \begin{pmatrix}
+        2 - 2 - 2 \\\\
+        3 + 0 + 4
+    \end{pmatrix} =
+    \begin{pmatrix}
+        -2 \\\\
+        7
+    \end{pmatrix}
+\\]
+
+## Résoudre des système d'équation
+
+### Via l'échelonnement des matrices
+
+1) \\( [A | B] \\)  (A augmenté de B)
+2) Echeloner notre matrice ( Grace aux transformations elementaires ci-dessous )
+    - \\( L_i \leftrightarrow  L_j\\) (Echange de lignes)
+    - \\( L_i \gets \alpha L_i \quad \alpha \in \mathbb{R} \\) 
+    - \\( L_i \gets L_i + L_j \\)
+3) Revenir au système et trouver S
+
+### Via le calcul de déterminants
+
+Un déterminant est un réel calculé sur une matrice carrée
+
+#### La méthode de Sarros
+
+Cette méthode ne fonctionne que pour les matrices 2x2 et 3x3
+
+##### 2x2
+
+- Soit \\( A \in \mathbb{R}^{2 * 2}  \\) 
+\\[
+    \det A = 
+    \begin{vmatrix}
+        a_{11} &a_{12} \\\\
+        a_{21} &a_{22}
+    \end{vmatrix}
+    = (a_{11} * a_{22}) - (a_{12} * a_{21})
+\\]
+
+##### 3x3 
+
+- Soit \\( B \in \mathbb{R}^{3 * 3}  \\) 
+\\[
+    \det B = 
+    \begin{vmatrix}
+        b_{11} &b_{12} &b_{13} \\\\
+        b_{21} &b_{22} &b_{23} \\\\
+        b_{31} &b_{32} &b_{33} \\\\
+    \end{vmatrix}
+        = (b_{11} * b_{22} * b_{33}) + (b_{12} * b_{23} * b_{31}) + (b_{13} * b_{21} * b_{32}) - (b_{13} * b_{22} * b_{31}) - (b_{12} * b_{21} * b_{33}) - (b_{11} * b_{23} * b_{32})
+\\]
+
+### La méthode des cofacteurs
+
+Utilisé pour les matrices + grandes ou égales à 3x3
+
+- **Un Mineur** de l'élément \\( a_{ij} \\) est le déterminant de la matrice \\( Aij \\)
+    - C'est à dire la matrice \\( A \\) où on a supprimé la ligne i et la conlonne j
+        - On la note \\( M_{ij} \\) 
+
+- Le **Cofacteur** de la position ij est le nombre \\( (-1)^{i+j} * M_{ij} \\) 
+    - On le note \\( C_{ij} \\) 
+
+On choisit ensuite une ligne a déveloper, au plus il y a de zeros au mieux c'est
+
+- Soit \\( A \in \mathbb{R}^{n * n} \\) 
+    - Si on développe la ie Ligne
+        - \\( \forall 1 \leq i \leq n \quad \det A = \displaystyle\sum_{j=n}^n a_{ij} * C_{ij} \\) 
+
+#### Inverse d'une matrice
+
+Sachant que l'inverse d'un réel \\( x \\) est \\( x^{-1}  \\) tel que \\( x * x^{-1} = 1\\) 
+
+On peut étendre cette définition aux matrice pour que \\( A * A^{-1} * A = \mathbb{I}  \\) 
+Une matrice nxn est inversible ssi \\( \det A \neq 0 \\) 
+
+On peut trouver cette matrice inverse à l'aide de la matrice ompagnon.
+1) On vérifie que le détérminanat est différent de 0
+2) On applique des transformations élémentaires sur A et sur \\( \mathbb{I} \\) en même temps jusqu'a transformer \\( A \text{ en } \mathbb{I}\\) 
+
+> Mais comment utiliser la matrice inverse pour résoudre un system?
+
+On sait que \\( A \cdot x = b \\) est la représentation d'un système en matrice.
+\\[
+\begin{align}
+    A*x &= b \\\\
+    A^{-1} * A * x &= A^{-1} * b \\\\
+    \mathbb{I} * x &= A^{-1} * b \\\\
+    x &= A^{-1} * b
+\end{align}
+\\]
+
+où x est la matrice de variable, on aura donc nos solutions directement en mutlipliant nos matrices
+
+
+## Diagonalisation
+
+- Soit \\( M \in \mathbb{R}^{n \times n} \\) 
+    - On dit que M est **Diagonale** ssi
+        - \\( \forall i, j \quad i \neq j \implies a_{ij} = 0 \\) 
+
+donc de la forme
+\\[
+    \begin{pmatrix}
+        x &0 &0\\\\
+        0 &y &0\\\\
+        0 &0 &z\\\\
+    \end{pmatrix}
+\\]
+
+Remarque: Diagonaliser une matrice associée à \\( L : V \to V \\) revient à trouver une base de V constituée de [vecteur propres](./vpropres.md) de L

src/math/all/vpropres.md

@@ -0,0 +1,34 @@
+# Valeur/Vecteur/Espaces propres
+
+- Soit \\( M \\) une matrice \\( n \times n \\). Soit \\( L: V \to V \\) une application linéaire
+    - Soit \\( v \in V \\) un vecteur **Non-Nul**.
+        - On dit que \\( v \\) est un **vecteur propre** de \\( L/M \\) ssi
+            - \\( \exists \lambda \in \mathbb{R} \quad L(v) = \lambda v / Mv = \lambda v \\) 
+                - Ce \\( \lambda est la **valeur propre** associée à v \\) 
+                    - l'ensemble des vecteurs propres d'une valeur propres est **un espace propre**
+
+En passant par les matrice, on a bien que \\( Mv = \lambda v \\) et on peut transformer cette equation en \\( (M - \lambda 𝟙 )* v = 0 \\) 
+
+Pour isoler lambda on peut alors faire \\( det(M - \lambda 𝟙 ) = 0 \\) qui nous permet alors de trouver les vecteurs et espaces propres
+
+## Diagonalisable
+
+- Soit \\( L : V \to V \quad dim(V) = n \\) 
+    - L est [**Diagonalisable**](./matrix.md#diagonalisation) ssi
+        - Il existe n vecteurs propres de L linéairement indépendants
+
+- Donc toutes les matrices ne sont pas diagonalisables!
+    - Si pas dans \\( \mathbb{R} \\) pour être dans les complexes
+    - attention aux dimentiosn de l'éspaces propre
+
+1) Trouver les valeurs propres
+    1) calculer le détérminant du polynome caractéristique 
+        - les valeurs pour lequels ce det est = 0 alors lambda sont nos valeurs propres\\( det(M - \lambda 𝟙 ) = 0 \\)
+        - pour chaques lambdas, calculer sa multiplicité
+    2) Vérifier que les lambdas sont bien dans les réels
+    3) Trouver les espaces propres (ensemble de tout les vecteurs propres) 
+        - pour chauques lambdan calculer \\( M - \lambda 𝟙 = 0\\) 
+    4) Vérifier \\( dim(E_i) = k_i \\) si pas, M n'est pas diagonalisable
+    5) Calculer la matrice diagonale
+        - Retourner la matrice diagonale dont la ligne de diagonale est composée des valeurs propres \\( \lambda_ i \\) , chacune répétée \\( k_i \\)  fois
+            - Cette matrice de L a pour base les vecteurs propres de chaques \\( lambda_i \\) dans l'ordre mis dans la matrice

src/math/disc/graph.md

@@ -0,0 +1,6 @@
+# Initiation à la théorie des graphe
+
+- Un **Graphe non-orienté**, noté \\(G = (S, A)\\), est la donnée d'un ensemble de sommets (noté S) et d'un ensemble d'arêtes (noté A).
+    - Une arête est une paire des sommets
+- Un **Graphe orienté**, noté \\(G = (S, F)\\), est la donnée d'un ensemble de sommets (noté S) et d'un ensemble de flèches (noté F).
+    - Une flèche est un couple des sommets.

src/math/disc/index.md

@@ -0,0 +1 @@
+# Math Discrète

src/math/disc/induction.md

@@ -0,0 +1,19 @@
+# Preuve par induction
+
+Le but est de prouver les propriètés du type: 
+\\[
+    \forall n \in \mathbb{N} \quad P(n)
+\\]
+ 
+
+## Induction Faible
+
+1) Cas de base: \\( P(0) \\) 
+2) Cas général: \\( \forall n \in \mathbb{N} \quad P(n) \implies P(n+1) \\) 
+3) Conclusion: \\( \forall n \in \mathbb{N} \quad P(n) \\) 
+
+## Induction Forte
+
+1) Cas de base: \\( P(0) ... P(n) \\) (à déterminer en fonction du cas général)
+2) Cas général: \\( \forall n \in \mathbb{N} \quad P(0) \land ... \land P(n) \implies P(n+1) \\) 
+3) Conclusion: \\( \forall n \in \mathbb{N} \quad P(n) \\) 

src/math/disc/prime.md

@@ -0,0 +1,89 @@
+# Les Nombres Premiers
+
+- Soient \\(a, b \in \mathbb{Z}\\) avec \\(a \neq 0\\)
+    - On dit que \\( a \\) **divise** \\( b \\) noté \\( a | b \\)
+        - ssi \\( \exists c \in \mathbb{Z} b=ac \\)
+        - On dit également que b est un multiple de a
+
+## Propositions de division
+
+- \\( \forall a, b, c, d \in \mathbb{Z}_ 0 \\) 
+    a) \\( 1|a \\) 
+    b) \\( a|0 \\) 
+    c) \\( a|a \\) 
+    d) \\( a|b \implies (\forall c \in \mathbb{Z}_ 0 \quad a|(b * c))\\) 
+    e) \\( (a|b \land b|c) \implies a|c\\) 
+    f) \\( (a|b \land a|c) \implies a | (b+c)\\) 
+    g) \\( (a|b \land a|c) \implies a | (b-c)\\) 
+    h) \\( (a|b \lor a|c) \implies a | (b * c)\\) 
+    h) \\( (a|b \land c|d) \implies (a * c) | (b * d)\\) 
+
+
+## Algorithme de division d'euclide
+
+- Soient \\( a \in \mathbb{Z} \text{ et } d\in \mathbb{N} _ 0 \\)
+    - \\( \exists q, r \in \mathbb{Z} \quad 0 \leq r < d \quad a = dq + r\\)
+\mathbb{R}
+
+- Soient \\( a, b \in \mathbb{Z} \quad n \in \mathbb{N} _ 0  \\)
+    - On dit que \\( a \\) est **congru** à \\( b \\) modulo n
+        - ssi \\( n \vert (a - b) \\)
+            - On note \\( a \equiv_n b \\) 
+
+## PGCD & PPCM
+
+- **PGCD** : Plus grand commun diviseur
+- **PPCM** : Plus petit commun multiple
+
+On peut calculer le pgcd de deux nombre avec
+\\[
+    PGCD(a,b) = PGCD(b, a \bmod b)
+\\]
+
+On remarque que
+\\[
+    a * b = PGCD(a,b) * PPCM(a, b)
+\\]
+
+Donc si on fait la décomposition en facteur premier d'un nombre, on peut trouver le pgcd et le ppcm comme suit:
+
+\\[
+    a = p_1* ...* p_n * q_1* ...* q_n \\\\
+    b = p_1* ...* p_n * \tilde{q}_ 1* ...* \tilde{q}_ n
+\\]
+\\[
+    PGCD(a,b) = p_1 * ... * p_n \\\\
+    PPCM(a,b) = p_1 * ... * p_n * q_1 * ... * q_n * \tilde{q}_ 1* ...* \tilde{q}_ n
+\\]
+
+
+
+
+## La Cryptographie
+
+Lorsqu'un cannal de communication n'est pas sur, il faut crypter les messages.
+Le message passe par une fonction pour crypter et une autre fonction pour décrypter. c'est un chiffrement asymetrique
+
+On se base sur les mathématiques modulaires pour crypter
+
+### Les nombres premiers
+
+- Soit \\( p \in \mathbb{N} \\) On dit que \\( P \\) est un **Nombre Premier**
+    - ssi il posséde exactement 2 diviseurs 
+        - Ces diviseurs sont \\( 1 \text{ et } P \\)  
+
+Un example d'algorithme naïf pour détecter un nombre premier est:
+\\[ \forall n \in \mathbb{N}  2 \leq P \leq \sqrt{101} \implies n | 101 \\] 
+On testerais ici par example \\( P | 101 \quad \forall P=2,3,5,7 \\) qui sont les racines < que 101
+
+#### Une infinitée de nombre premiers
+
+Nous pouvons prouver qu'il y a une infinitée de nombres premiers.
+Pour se faire nous fesons une preuve par l'absurde : Il y a un nombre **fini** de nombres premiers.
+mais si on prend \\( \displaystyle (\prod_1^n p_n)+1 \\) soit ce nombre est premier, soit il ne l'est pas.
+Dans le cas où il ne le serait pas, alors on peut le décomposer en nombres premiers. sauf que cette formule indique qu'aucuns nombre premiers précédent celui-ci n'est dans la liste des nombres premiers
+On aura donc une contradiction
+
+En Cryptographie, l'infinitee de ces nombre premiers et la difficultée de trouver les facteurs premiers d'un grand nombre en fait un bon candidat pour des clés asymétriques
+
+On peut utiliser également un [Algorithme d'exponensiation rapide](https://courses.cs.washington.edu/courses/cse311/21sp/resources/reference-modular-exponentiation.pdf)

src/math/disc/relations.md

@@ -0,0 +1,172 @@
+# Les Relations
+
+- Soient \\( A, B \\) deux ensembles
+    - Le **Produit cartésien** noté \\( A \times B \\) est l'ensemble
+        - \\( A \times B = \\{ (a,b) | a \in A \land b \in B\\} \\) 
+            - Donc \\( A \times B \neq B \times A \\) 
+    - Une **Relation Binaire** noté \\( R \\) est un sous-ensemble de
+        - \\( A \times B \quad (R \subseteq A \times B)\\) 
+        - Soient \\( a \in A \quad b \in B \\) 
+            - On dit que a est en **Relation Binaire** ssi \\( (a,b) \in R \\) 
+                - noté \\( aRb \\)
+            - Quand \\( A = B \quad R \subseteq A \times A \\) on parle de relation sur \\( A \\) 
+
+Par exemple:
+1) \\( A = B = \mathbb{R} \quad R = \mathbb{R}^2 \subseteq \mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R}  \\) 
+2) \\( A = \\{2, 3 ,4\\} \quad B = \\{4, 6, 8\\} \quad R = \\{(a,b) \in A \times B | b = 2a\\} \\) 
+3) \\( A = B = \\{ \text{ membre d'une famille } \\} \quad R = \\{ (a,b) | a \text{ est le père de }  B \\} \\) 
+4) \\( A = B = \mathbb{R} \quad R_{\leq} = \\{ (a,b) \in \mathbb{R}^2 | a \leq b \\} \\) 
+
+## Représentation des relations (finies)
+
+Par exemple, pour:
+\\[
+    A = B = \\{ 1, 2, 3 \\} \quad R_{<} = \\{ (a,b) | a < b \\} 
+\\]
+
+1) Représentation Cartésienne
+2) Représentation Patate
+3) Représentation Matricielle
+
+## Types de relations
+
+- Soit \\( R \subseteq A \times A \\), On dit uqe R est 
+    - **Réfléxive** ssi \\( \forall a \in  A \quad aRa \\) 
+        - Que tout les éléments sont en relation avec eux même
+    - **transitive** ssi \\( \forall a, b, c \in A \quad (aRb \land bRc) \implies aRc \\) 
+        - Une forme de relation d'héritage.(eg: Si a est un ancetre de b et b est un ancetre de c alors a est un ancetre de c)
+    - **Symétrique** ssi \\( \forall a,b \in A \quad aRb \implies bRa  \\) 
+        - Toutes les relations sont toujours à double sens
+    - **Anti-Symétrique** ssi \\( \forall a, b \in A \quad (aRb \land bRa) \implies a=b  \\) 
+        - symètrique mais sans double flèches, seulement des flèches vers lui même
+
+**Attention**, anti-symétrique n'est pas la négation de symétrique
+
+## Relation inverse
+
+- Soit \\( R \subseteq A \times B \\) 
+    - La **Relation Inverse** notée \\( R^{-1} = \\{ (b, a) \in B \times A | aRb) \\}  \\)
+
+La relation inverse retourne toute les fleches d'un graphe; Les relations sont inversées
+
+On a prouvé que \\( R = R^{-1} \implies R \text{ est symétrique }  \\) 
+
+## Composition de relations
+
+- Soient \\( R_1 \subseteq A \times B \quad R_2 \subseteq B \times C \\) 
+    - \\( R_2 \circ R_1 = \\{ (a,b) \in A \times C \mid \exists b \in B \quad  (a,b) \in R_1 \land (b,c) \in R_2 \\}\\) 
+
+Dans ce cas nous devons faire attention à l'ensemble de départ et d'arrivée
+
+- Soit \\( R \subseteq A \times A \\) 
+    - \\( R^2 = R \circ R \quad R^n = R \circ ... \circ R \\) 
+        - R est Transitive ssi \\( R^2 \subseteq R \iff \forall n \in \mathbb{N}_ 0 R^n \subset R  \\) 
+
+Nous pouvons alors utiliser les matrice et faire un produit matriciel.
+On place 1 dans la matrice lorsque les éléments n et m sont en relation et 0 lorsqu'ils ne sont pas en relation
+- + équivaut à un ou
+- * équiavaut à un et
+Ces matrices peuvent nous aider à comprendre mieux ce qu'il se passe
+> On a un chemin qui va de 1 à 2 **et** de 2 à 3
+> Oui: Donc (1,3) est dans \\( R^2 \\) 
+
+## Les relations d'équivalences
+
+- Soit \\( R \subseteq A \times A \\) 
+    - \\( R \\) est une **Relation d'équivalence** ssi
+         - R est **Réfléxive**, **Symétrique** et **Transitive**
+
+- Soit \\( R \subseteq A \times A \\) une relation d'équivalence
+    - Soit \\( a \in A \\) 
+        - La **Classe d'équivalence** de A (Pour R), notée \\( [a]_ R \\) 
+            - \\( [a]_ R = \\{ b \in A \mid a R b \\} \\) 
+    - **Le quotient de A par R**, noté \\( A/R \\) 
+        - \\( A/R = \\{ [a]_ R \mid a \in A \\} \\) 
+
+Par example, 
+- \\( A = \\{ 0, 1, 2, 3, 4, 5\\}  \\) 
+    - \\( R = \\{ (a,b) \in A^2 \mid a \equiv_3 b \\}\\) est une relation d'équivalence
+        - \\( [0]_ R = \\{ b \in A \mid 0 \equiv_3 b \\} = \\{ 0, 3 \\} = [3] _R \\) 
+
+- Soit \\( R \subseteq A^2 \\) une relation d'équivalence
+    - Soient \\( a, b \in A \\). Les affirmations suivantes sont équivalence
+        1) \\( a R b \\) 
+        2) \\( [a]_ R = [b]_ R \\) 
+        3) \\( [a]_ R \cap [b]_ R \neq \emptyset \\) 
+
+- Soit \\( A \\) un ensemble.
+    - P **une Partition** de A
+        - \\( \mathcal{P} = \\{ A_ i \mid A_ i \subseteq A \\} \\) tq
+            1) \\(\cup_ {A_i \in \mathcal{P}} A_ i = A \\) 
+            2) \\( \forall A_ i, A_ j \in \mathcal{P} \quad A_ i \neq A_ j \implies A_ i \cap A_ j = \emptyset\\) 
+
+On a donc que \\( A/R \\) est une partition de A
+
+## Les relations d'ordre
+
+- Soit \\( A \\) un ensemble, \\( R \subseteq A \times A \\) 
+    - On dit que \\( R \\) est **une relation d'ordre** sur \\( A \\) ssi \\( R \\) est:
+        1) Réfléxive
+        2) Transitive
+        3) Anti-Symétrique
+    - On dit alors que \\( (A, R) \\) est un ensemble ordonné
+
+Exemple: \\( (a, =), (\mathbb{N} \leq), (\mathbb{R} \leq ), (\mathbb{R}, \geq ), (\mathbb{N}_ 0, \vert ), (2^X, \subseteq)\\) 
+
+- Soit \\( (A, R) \\)  un ensemble ordonné, Soit \\( a, b \in A \\)
+    - On dit que a et b sont **Comparables** (par rapport à R) ssi
+        - \\( a R b \lor b R a \\) 
+    - Sinon ils sont **Incomparable**
+
+- Soit \\( (A, R) \\) un ensemble ordonné.
+    - On dit que l'ensemble est **Totalement ordonné** ssi
+        - Il ne contient pas de paire d'incomparable pour R
+        - \\( \forall a,b \in A \quad aRb \lor bRa\\) 
+    
+### Diagramme de Hasse
+
+Il est évidement toujours possible de faire un graphe associé à la relation mais une forme de graphe particulièrement addaptée aux Relations Ordonnées
+sont les **Diagramme de Hasse**.
+
+![Diagramme de Hasse](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2e/Inclusion_ordering.svg "Diagramme de Hasse")
+Représentation de \\( 2^{\\{ x,y \\} } \\) 
+
+- Soit \\( (A, \preccurlyeq) \\). Soient \\( a, b \in A \\) 
+    - on dit que b est un successeur immédiat de a ssi
+        - \\( a \prec b \land \neg(\exists c \quad a \prec c \prec) \\) 
+
+Exemple:
+- \\( \mathbb{N} , \leq \\) 2 est succésseur immédiat de 1  
+    - \\( 1 < 2 \land \neg(\exists c \quad 1 < c < 2) \\) 
+
+- Soit \\( (A, \preccurlyeq) \\) 
+    - On dit que a est **maximum** ssi
+        - \\( \forall b \in A \quad b \preccurlyeq a \\) 
+    - On dit que a est **maximal** ssi
+        - \\( \neg(\exists b \in A \quad a \prec b)\\) 
+    - un maximum implique qu'il soit maximal mais pas l'inverse.  
+    - Il n'éxiste pas toujours un maximum ni un maximal
+
+- Soit \\( (A, \preccurlyeq) \\) un ensemble ordonné.
+    - Soit \\( X \subseteq A \quad a \in A \\) 
+        - On dit que a est **une borne supérieure** de x ssi
+            - \\( \forall x \in X \quad x \preccurlyeq a \\) 
+                - Une borne supérieur peut:
+                    1) Ne pas exister
+                    2) être infini
+                    3) comprendre des élements dans et hors de l'ens
+        - On dit que a est **supéremum** de X ssi
+            - a est le minimum des bornes supérieure de X
+    - On dit que cet ensemble est un **Treilli** ssi
+        - toute les paire d'éléments de A, \\( \\{ a, b \\} \subseteq A \\) possédent un infinum et un supremum
+    - C'est un ensemble **Bien-Ordonné** ssi
+        - \\( \forall X \subseteq A \quad  X \neq \emptyset \quad X \text{ posède un minimum } \\) 
+        - Ca nous permet par exemple de faire des preuves par inductions
+
+- Soit \\( (A, R) \\) un ensemble ordonné
+    - Soit \\( \preccurlyeq \subseteq A^2 \\) un ordre Total sur A.
+        - On dit que \\( \preccurlyeq \\) est **compatible** avec \\( R \\) ssi
+            - \\( \forall a, b \in A \quad aRb \implies a \preccurlyeq b \\) 
+
+Par exemple: Un tri topologique.
+A la manière de la construction d'une maison, On peut y aller dans un ordre qui est "compatible".

src/phys/elec/chap1.md

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+# Les Forces Electriques
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+\\[ |F| = k\frac{|Qq|}{r^2}\\]
+\\[ k = \frac{1}{4\pi\varepsilon _0} = 9*10^9\\]
+\\[ \varepsilon = 8,85 * 10^{-12} C^2/(Nm)^2\\]

src/phys/elec/index.md

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+# Electromagnétisme