relations

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@@ -78,5 +78,26 @@ Ces matrices peuvent nous aider à comprendre mieux ce qu'il se passe
 
 - Soit \\( R \subseteq A \times A \\) une relation d'équivalence
     - Soit \\( a \in A \\) 
-        - La **Classe d'éaquivalence** de A (Pour R), notée \\( [a]_ R \\) 
+        - La **Classe d'équivalence** de A (Pour R), notée \\( [a]_ R \\) 
             - \\( [a]_ R = \\{ b \in A \mid a R b \\} \\) 
+    - **Le quotient de A par R**, noté \\( A/R \\) 
+        - \\( A/R = \\{ [a]_ R \mid a \in A \\} \\) 
+
+Par example, 
+- \\( A = \\{ 0, 1, 2, 3, 4, 5\\}  \\) 
+    - \\( R = \\{ (a,b) \in A^2 \mid a \equiv_3 b \\}\\) est une relation d'équivalence
+        - \\( [0]_ R = \\{ b \in A \mid 0 \equiv_3 b \\} = \\{ 0, 3 \\} = [3] _R \\) 
+
+- Soit \\( R \subseteq A^2 \\) une relation d'équivalence
+    - Soient \\( a, b \in A \\). Les affirmations suivantes sont équivalence
+        1) \\( a R b \\) 
+        2) \\( [a]_ R = [b]_ R \\) 
+        3) \\( [a]_ R \cap [b]_ R \neq \emptyset \\) 
+
+- Soit \\( A \\) un ensemble.
+    - P **une Partition** de A
+        - \\( \mathcal{P} = \\{ A_ i \mid A_ i \subseteq A \\} \\) tq
+            1) \\(\cup_ {A_i \in \mathcal{P}} A_ i = A \\) 
+            2) \\( \forall A_ i, A_ j \in \mathcal{P} \quad A_ i \neq A_ j \implies A_ i \cap A_ j = \emptyset\\) 
+
+On a donc que \\( A/R \\) est une partition de A