some things + relations type + inverted relation

src/math/all/matrix.md

@@ -122,3 +122,54 @@ dont les éléments sont rangés selon m lignes et n colonnes
     - \\( L_i \gets \alpha L_i \quad \alpha \in \mathbb{R} \\) 
     - \\( L_i \gets L_i + L_j \\)
 3) Revenir au système et trouver S
+
+### Via le calcul de déterminants
+
+Un déterminant est un réel calculé sur une matrice carrée
+
+#### La méthode de Sarros
+
+Cette méthode ne fonctionne que pour les matrices 2x2 et 3x3
+
+##### 2x2
+
+- Soit \\( A \in \mathbb{R}^{2 * 2}  \\) 
+\\[
+    \det A = 
+    \begin{vmatrix}
+        a_{11} &a_{12} \\\\
+        a_{21} &a_{22}
+    \end{vmatrix}
+    = (a_{11} * a_{22}) - (a_{12} * a_{21})
+\\]
+
+##### 3x3 
+
+- Soit \\( B \in \mathbb{R}^{3 * 3}  \\) 
+\\[
+    \det B = 
+    \begin{vmatrix}
+        b_{11} &b_{12} &b_{13} \\\\
+        b_{21} &b_{22} &b_{23} \\\\
+        b_{31} &b_{32} &b_{33} \\\\
+    \end{vmatrix}
+        = (b_{11} * b_{22} * b_{33}) + (b_{12} * b_{23} * b_{31}) + (b_{13} * b_{21} * b_{32}) - (b_{13} * b_{22} * b_{31}) - (b_{12} * b_{21} * b_{33}) - (b_{11} * b_{23} * b_{32})
+\\]
+
+### La méthode des cofacteurs
+
+Utilisé pour les matrices + grandes ou égales à 3x3
+
+- **Un Mineur** de l'élément \\( a_{ij} \\) est le déterminant de la matrice \\( Aij \\)
+    - C'est à dire la matrice \\( A \\) où on a supprimé la ligne i et la conlonne j
+        - On la note \\( M_{ij} \\) 
+
+- Le **Cofacteur** de la position ij est le nombre \\( (-1)^{i+j} * M_{ij} \\) 
+    - On le note \\( C_{ij} \\) 
+
+On choisit ensuite une ligne a déveloper, au plus il y a de zeros au mieux c'est
+
+- Soit \\( A \in \mathbb{R}^{n * n} \\) 
+    - Si on développe la ie Ligne
+        - \\( \forall 1 \leq i \leq n \quad \det A = \displaystyle\sum_{j=n}^n a_{ij} * C_{ij} \\) 
+

src/math/disc/mod.md

@@ -1,32 +0,0 @@
-# Mathématique modulaire
-
-- Soient \\(a, b \in \mathbb{Z}\\) avec \\(a \neq 0\\)
-    - On dit que \\( a \\) **divise** \\( b \\) noté \\( a | b \\)
-        - ssi \\( \exists c \in \mathbb{Z} b=ac \\)
-        - On dit également que b est un multiple de a
-
-## Algorithme de division d'euclide
-
-- Soient \\( a \in \mathbb{Z} \text{ et } d\in \mathbb{N} _ 0 \\)
-    - \\( \exists q, r \in \mathbb{Z} \quad 0 \leq r < d \quad a = dq + r\\)
-\mathbb{R}
-
-- Soient \\( a, b \in \mathbb{Z} \quad n \in \mathbb{N} _ 0  \\)
-    - On dit que \\( a \\) est **congru** à \\( b \\) modulo n
-        - ssi \\( n \vert (a - b) \\)
-            - On note \\( a \equiv_n b \\) 
-
-## La Cryptographie
-
-Lorsqu'un cannal de communication n'est pas sur, il faut crypter les messages.
-Le message passe par une fonction pour crypter et une autre fonction pour décrypter. c'est un chiffrement asymetrique
-
-On se base sur les mathématiques modulaires pour crypter
-
-### Les nombres premiers
-
-- Soit \\( p \in \mathbb{N} \\) On dit que \\( P \\) est un **Nombre Premier**
-    - ssi il posséde exactement 2 diviseurs 
-        - Ces diviseurs sont \\( 1 \text{ et } P \\)  
-
-Nous avons vu un algorithme nous permettant de voir si un nombre est premier TODO

src/math/disc/prime.md

@@ -0,0 +1,89 @@
+# Les Nombres Premiers
+
+- Soient \\(a, b \in \mathbb{Z}\\) avec \\(a \neq 0\\)
+    - On dit que \\( a \\) **divise** \\( b \\) noté \\( a | b \\)
+        - ssi \\( \exists c \in \mathbb{Z} b=ac \\)
+        - On dit également que b est un multiple de a
+
+## Propositions de division
+
+- \\( \forall a, b, c, d \in \mathbb{Z}_ 0 \\) 
+    a) \\( 1|a \\) 
+    b) \\( a|0 \\) 
+    c) \\( a|a \\) 
+    d) \\( a|b \implies (\forall c \in \mathbb{Z}_ 0 \quad a|(b * c))\\) 
+    e) \\( (a|b \land b|c) \implies a|c\\) 
+    f) \\( (a|b \land a|c) \implies a | (b+c)\\) 
+    g) \\( (a|b \land a|c) \implies a | (b-c)\\) 
+    h) \\( (a|b \lor a|c) \implies a | (b * c)\\) 
+    h) \\( (a|b \land c|d) \implies (a * c) | (b * d)\\) 
+
+
+## Algorithme de division d'euclide
+
+- Soient \\( a \in \mathbb{Z} \text{ et } d\in \mathbb{N} _ 0 \\)
+    - \\( \exists q, r \in \mathbb{Z} \quad 0 \leq r < d \quad a = dq + r\\)
+\mathbb{R}
+
+- Soient \\( a, b \in \mathbb{Z} \quad n \in \mathbb{N} _ 0  \\)
+    - On dit que \\( a \\) est **congru** à \\( b \\) modulo n
+        - ssi \\( n \vert (a - b) \\)
+            - On note \\( a \equiv_n b \\) 
+
+## PGCD & PPCM
+
+- **PGCD** : Plus grand commun diviseur
+- **PPCM** : Plus petit commun multiple
+
+On peut calculer le pgcd de deux nombre avec
+\\[
+    PGCD(a,b) = PGCD(b, a \bmod b)
+\\]
+
+On remarque que
+\\[
+    a * b = PGCD(a,b) * PPCM(a, b)
+\\]
+
+Donc si on fait la décomposition en facteur premier d'un nombre, on peut trouver le pgcd et le ppcm comme suit:
+
+\\[
+    a = p_1* ...* p_n * q_1* ...* q_n \\\\
+    b = p_1* ...* p_n * \tilde{q}_ 1* ...* \tilde{q}_ n
+\\]
+\\[
+    PGCD(a,b) = p_1 * ... * p_n \\\\
+    PPCM(a,b) = p_1 * ... * p_n * q_1 * ... * q_n * \tilde{q}_ 1* ...* \tilde{q}_ n
+\\]
+
+
+
+
+## La Cryptographie
+
+Lorsqu'un cannal de communication n'est pas sur, il faut crypter les messages.
+Le message passe par une fonction pour crypter et une autre fonction pour décrypter. c'est un chiffrement asymetrique
+
+On se base sur les mathématiques modulaires pour crypter
+
+### Les nombres premiers
+
+- Soit \\( p \in \mathbb{N} \\) On dit que \\( P \\) est un **Nombre Premier**
+    - ssi il posséde exactement 2 diviseurs 
+        - Ces diviseurs sont \\( 1 \text{ et } P \\)  
+
+Un example d'algorithme naïf pour détecter un nombre premier est:
+\\[ \forall n \in \mathbb{N}  2 \leq P \leq \sqrt{101} \implies n | 101 \\] 
+On testerais ici par example \\( P | 101 \quad \forall P=2,3,5,7 \\) qui sont les racines < que 101
+
+#### Une infinitée de nombre premiers
+
+Nous pouvons prouver qu'il y a une infinitée de nombres premiers.
+Pour se faire nous fesons une preuve par l'absurde : Il y a un nombre **fini** de nombres premiers.
+mais si on prend \\( \displaystyle (\prod_1^n p_n)+1 \\) soit ce nombre est premier, soit il ne l'est pas.
+Dans le cas où il ne le serait pas, alors on peut le décomposer en nombres premiers. sauf que cette formule indique qu'aucuns nombre premiers précédent celui-ci n'est dans la liste des nombres premiers
+On aura donc une contradiction
+
+En Cryptographie, l'infinitee de ces nombre premiers et la difficultée de trouver les facteurs premiers d'un grand nombre en fait un bon candidat pour des clés asymétriques
+
+On peut utiliser également un [Algorithme d'exponensiation rapide](https://courses.cs.washington.edu/courses/cse311/21sp/resources/reference-modular-exponentiation.pdf)

src/math/disc/relations.md

@@ -0,0 +1,54 @@
+# Les Relations
+
+- Soient \\( A, B \\) deux ensembles
+    - Le **Produit cartésien** noté \\( A \times B \\) est l'ensemble
+        - \\( A \times B = \\{ (a,b) | a \in A \land b \in B\\} \\) 
+            - Donc \\( A \times B \neq B \times A \\) 
+    - Une **Relation Binaire** noté \\( R \\) est un sous-ensemble de
+        - \\( A \times B \quad (R \subseteq A \times B)\\) 
+        - Soient \\( a \in A \quad b \in B \\) 
+            - On dit que a est en **Relation Binaire** ssi \\( (a,b) \in R \\) 
+                - noté \\( aRb \\)
+            - Quand \\( A = B \quad R \subseteq A \times A \\) on parle de relation sur \\( A \\) 
+
+Par exemple:
+1) \\( A = B = \mathbb{R} \quad R = \mathbb{R}^2 \subseteq \mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R}  \\) 
+2) \\( A = \\{2, 3 ,4\\} \quad B = \\{4, 6, 8\\} \quad R = \\{(a,b) \in A \times B | b = 2a\\} \\) 
+3) \\( A = B = \\{ \text{ membre d'une famille } \\} \quad R = \\{ (a,b) | a \text{ est le père de }  B \\} \\) 
+4) \\( A = B = \mathbb{R} \quad R_{\leq} = \\{ (a,b) \in \mathbb{R}^2 | a \leq b \\} \\) 
+
+## Représentation des relations (finies)
+
+Par exemple, pour:
+\\[
+    A = B = \\{ 1, 2, 3 \\} \quad R_{<} = \\{ (a,b) | a < b \\} 
+\\]
+
+1) Représentation Cartésienne
+2) Représentation Patate
+3) Représentation Matricielle
+
+## Types de relations
+
+- Soit \\( R \subseteq A \times A \\), On dit uqe R est 
+    - **Réfléxive** ssi \\( \forall a \in  A \quad aRa \\) 
+        - Que tout les éléments sont en relation avec eux même
+    - **transitive** ssi \\( \forall a, b, c \in A \quad (aRb \land bRc) \implies aRc \\) 
+        - Une forme de relation d'héritage.(eg: Si a est un ancetre de b et b est un ancetre de c alors a est un ancetre de c)
+    - **Symétrique** ssi \\( \forall a,b \in A \quad aRb \implies bRa  \\) 
+        - Toutes les relations sont toujours à double sens
+    - **Anti-Symétrique** ssi \\( \forall a, b \in A \quad (aRb \land bRa) \implies a=b  \\) 
+        - symètrique mais sans double flèches, seulement des flèches vers lui même
+
+**Attention**, anti-symétrique n'est pas la négation de symétrique
+
+## Relation inverse
+
+- Soit \\( R \subseteq A \times B \\) 
+    - La **Relation Inverse** notée \\( R^{-1} = \\{ (b, a) \in B \times A | aRb) \\}  \\)
+
+La relation inverse retourne toute les fleches d'un graphe; Les relations sont inversées
+
+On a prouvé que \\( R = R^{-1} \implies R \text{ est symétrique }  \\) 
+
+