ineq et ensemble du 13 oct

src/SUMMARY.md

@@ -9,6 +9,7 @@
 	- [induction](./math/logique/induction.md)
 	- [Ensembles](./math/logique/ensembles.md)
 - [Inéquations](./math/ineq/summary.md)
+	- [Second Degrés](./math/ineq/second_degres.md)
 	- [Valeurs Absolue](./math/ineq/abs.md)
 - [Géométrie](./math/geo/summary.md)
 	- [Les Vecteurs](./math/geo/vecteurs.md)

src/math/ineq/abs.md

@@ -9,19 +9,19 @@
 
 1) \\(\lvert 3x+5\rvert \leq 2\\) 
 
-- Si \\( 3x + 5 \geq 0 \iff x \geq \frac{-5}{3}\\)
-	- Alors \\(\lvert 3x+5\rvert \leq 2\\) devient \\(3x + 5 \leq 2\\)
-	- \\(\iff x \leq -1\\)
+	- Si \\( 3x + 5 \geq 0 \iff x \geq \frac{-5}{3}\\)
+		- Alors \\(\lvert 3x+5\rvert \leq 2\\) devient \\(3x + 5 \leq 2\\)
+		- \\(\iff x \leq -1\\)
 
-	- > Ensemble des solutions trouvées pour ce cas : 
-	\\[ ]-\infty, -1] \cap \left[\frac{-5}{3}, +\infty\right[ = \left[\frac{-5}{3}, -1\right]\\]
+		- > Ensemble des solutions trouvées pour ce cas : 
+		\\[ ]-\infty, -1] \cap \left[\frac{-5}{3}, +\infty\right[ = \left[\frac{-5}{3}, -1\right]\\]
 
-- Si \\( 3x + 5 < 0 \iff x \leq \frac{-5}{3}\\)
-	- Alors \\(\lvert 3x+5\rvert \leq 2\\) devient \\-(3x + 5 \leq 2\\)
-	- \\(\iff x \leq \frac{-7}{3}\\)
-	- > Ensemble des solutions trouvées pour ce cas : 
-	\\[ \left[\frac{-7}{3}, +\infty\right[\cap\left]-\infty, \frac{-5}{3}\right[ = \left[\frac{-7}{3}, \frac{-5}{3}\right[\\]
+	- Si \\( 3x + 5 < 0 \iff x \leq \frac{-5}{3}\\)
+		- Alors \\(\lvert 3x+5\rvert \leq 2\\) devient \\-(3x + 5 \leq 2\\)
+		- \\(\iff x \leq \frac{-7}{3}\\)
+		- > Ensemble des solutions trouvées pour ce cas : 
+		\\[ \left[\frac{-7}{3}, +\infty\right[\cap\left]-\infty, \frac{-5}{3}\right[ = \left[\frac{-7}{3}, \frac{-5}{3}\right[\\]
 
-- > Conclusion: 
-\\[\\{x \vert\lvert 3x+5\rvert \leq 2 \\} = \left[\frac{-5}{3}, -1\right] \cup \left[\frac{-7}{3}, \frac{-5}{3}\right[ = \left[\frac{-7}{3}, -1\right]  \\]
+	- > Conclusion: 
+	\\[\\{x \vert\lvert 3x+5\rvert \leq 2 \\} = \left[\frac{-5}{3}, -1\right] \cup \left[\frac{-7}{3}, \frac{-5}{3}\right[ = \left[\frac{-7}{3}, -1\right]  \\]
 

src/math/ineq/second_degres.md

@@ -0,0 +1 @@
+# Second Degrés

src/math/ineq/summary.md

@@ -1 +1,41 @@
 # Inéquations
+
+## Exemples d'inéquations 
+
+- \\(3x + 1 \leq 2x -1\\) (premier degrés)
+- \\(\frac{x}{3x-9} \leq 4\\) (Conditions d'existence)
+- \\(3x^2 - 3x - 7 \leq 8x + 9\\) (second degrés)
+- \\((x+1)-1 \leq 3\\) (valeur absolue)
+- \\(\frac{1}{\sqrt{x-1}-1} \leq 4\\)
+- \\(\sin{(x+ \lvert x\rvert +\sqrt{x+2})} \leq 8x-1\\)
+
+## Notions
+
+- x est **solutions** (une valuer x \in \mathbb{R} est solution).
+	- Si on remplace x dans les 2 membres de l'inégalités, celle-ci est satisfaite
+
+- Notons \\(eq(x)\\) une inéquation(générale) en la variable x
+
+- \\(x\\) est solution si \\(eq(x)\\) est défini et \\(eq(x)\\) est Vrai
+	- peut ne pas être définit à cause des** Conditions d'éxistences**
+
+- Un **[ensemble](../logique/ensembles.html)** est une collection d'éléments "sans répétitions" et peut être:
+	- En extension: \\(\\{a_1, a_2, ..., n\\}\\)
+	- En Compréhension:
+		- l'ensemble des données comme tous les éléments qui vérifient un certains prédicat
+- Un **ensembe de solutions**:
+\\[
+	\begin{align*}
+	\\{ x \vert x \in \mathbb{R} &\text{ et eq(x) est bien définit}\\}\\\\
+					&\text{ et eq(x) est vrai}
+	\end{align*}
+\\]
+
+- Un **Interval**:
+
+- [Opérations sur les ensembles](../logique/ensembles.md)
+
+- \\(A \text{ et } B\\) Sont disjoints si \\(A \cap B = \emptyset\\)
+
+- Résoudre une inéquation ex(x) c'est exprimer l'ensemble de ses solutions sous la forme d'une union **minimale** d'intervale
+

src/math/logique/ensembles.md

@@ -14,13 +14,29 @@
 	- En **comprehension**, si on donne une formule qui décrit exactement les élements de l'ensemble 
 \\[ \\{x | P(x)\\}\\]
 
-- Soient \\(A, B\\) 2 ensembles.
-	- On dit que \\(A\\) est inclus a \\(B\\) noté \\(A \subseteq B\\)
+- Soient \\(A, B\\) deux ensembles
+	- L'**union** de \\(A \text{ et } B \text{ noté } A\cup B = \\{x \vert x \in A \lor x \in B\\}\\)
+	- L'**intersection** de \\(A \text{ et } B \text{ noté } A\cap B = \\{x \vert x \in A \land x \in B\\}\\)
+	- On dit que \\(A\\) est **inclus** a \\(B\\) noté \\(A \subseteq B\\) ssi
 		- \\(\forall x (x \in A) \implies (x \in B)\\)
-- Soient \\(A, B\\) 2 ensembles.
-	- \\(A\\) et \\(B\\) sont 
+	- \\(A\\) et \\(B\\) sont **égales** ssi
 		- \\((A \subseteq B) \land (B \subseteq A)\\)
 
+- Soit \\(\Omega\\) l'univers (ou domaine), Soit \\(A \subseteq \Omega\\) un ensemble
+	- Le **complémentaire** de \\(A\\), noté \\(A^c\\)
+		- \\(A^c = \\{ x \in \Omega \vert x\notin A\\}\\)
+			- Par démonstration, Soient \\(A, B \subseteq \mathbb{N} \qquad (A\cup B)^c = A^c \cup B^c\\)
+
+- **L'ensemble vide** est l'ensemble qui ne contient aucuns éléments. Il est noté \\(\emptyset \text{ ou } \\{\\}\\)
+	- Par démonstration, quel que soit \\(A\\), un ensemble: \\( \emptyset \subseteq A\\)
+
+> \\(\emptyset\\) est inclus dans \\(A\\) ssi \\(\forall x \quad x \in \emptyset \\implies x \in A\\) (par définition de l'inclusion)\
+			\\[
+			\text{Soit } A \quad \emptyset \subseteq A \\\\
+			\forall a \quad (a\in \emptyset ) \implies (a \in A)
+			\\]
+			La prémisse est fausse donc l'implication est Vraie!
+
 ### Ensemble réguliers
 
 Symbol | Nom | Ensemble