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Valeurs Absolue

Definition

\(\lvert x\rvert = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}\)

Exemple

1. \(\lvert 3x+5\rvert \leq 2\)

   • Si \( 3x + 5 \geq 0 \iff x \geq \frac{-5}{3}\)

     • Alors \(\lvert 3x+5\rvert \leq 2\) devient \(3x + 5 \leq 2\)

     • \(\iff x \leq -1\)

     • Ensemble des solutions trouvées pour ce cas : \[ ]-\infty, -1] \cap \left[\frac{-5}{3}, +\infty\right[ = \left[\frac{-5}{3}, -1\right]\]

   • Si \( 3x + 5 < 0 \iff x \leq \frac{-5}{3}\)

     • Alors \(\lvert 3x+5\rvert \leq 2\) devient \-(3x + 5 \leq 2\)
     • \(\iff x \leq \frac{-7}{3}\)

     • Ensemble des solutions trouvées pour ce cas : \[ \left[\frac{-7}{3}, +\infty\right[\cap\left]-\infty, \frac{-5}{3}\right[ = \left[\frac{-7}{3}, \frac{-5}{3}\right[\]

   • Conclusion: \[\{x \vert\lvert 3x+5\rvert \leq 2 \} = \left[\frac{-5}{3}, -1\right] \cup \left[\frac{-7}{3}, \frac{-5}{3}\right[ = \left[\frac{-7}{3}, -1\right] \]