From 55f61bf7d1d10350ec9063088232bfbfa96d822a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Anthony Debucquoy Date: Fri, 14 Oct 2022 12:56:02 +0200 Subject: [PATCH] ineq et ensemble du 13 oct --- src/SUMMARY.md | 1 + src/math/ineq/abs.md | 24 ++++++++++---------- src/math/ineq/second_degres.md | 1 + src/math/ineq/summary.md | 40 ++++++++++++++++++++++++++++++++++ src/math/logique/ensembles.md | 24 ++++++++++++++++---- 5 files changed, 74 insertions(+), 16 deletions(-) create mode 100644 src/math/ineq/second_degres.md diff --git a/src/SUMMARY.md b/src/SUMMARY.md index e02b64c..0b4e238 100644 --- a/src/SUMMARY.md +++ b/src/SUMMARY.md @@ -9,6 +9,7 @@ - [induction](./math/logique/induction.md) - [Ensembles](./math/logique/ensembles.md) - [Inéquations](./math/ineq/summary.md) + - [Second Degrés](./math/ineq/second_degres.md) - [Valeurs Absolue](./math/ineq/abs.md) - [Géométrie](./math/geo/summary.md) - [Les Vecteurs](./math/geo/vecteurs.md) diff --git a/src/math/ineq/abs.md b/src/math/ineq/abs.md index c7afeea..714ae7d 100644 --- a/src/math/ineq/abs.md +++ b/src/math/ineq/abs.md @@ -9,19 +9,19 @@ 1) \\(\lvert 3x+5\rvert \leq 2\\) -- Si \\( 3x + 5 \geq 0 \iff x \geq \frac{-5}{3}\\) - - Alors \\(\lvert 3x+5\rvert \leq 2\\) devient \\(3x + 5 \leq 2\\) - - \\(\iff x \leq -1\\) + - Si \\( 3x + 5 \geq 0 \iff x \geq \frac{-5}{3}\\) + - Alors \\(\lvert 3x+5\rvert \leq 2\\) devient \\(3x + 5 \leq 2\\) + - \\(\iff x \leq -1\\) - - > Ensemble des solutions trouvées pour ce cas : - \\[ ]-\infty, -1] \cap \left[\frac{-5}{3}, +\infty\right[ = \left[\frac{-5}{3}, -1\right]\\] + - > Ensemble des solutions trouvées pour ce cas : + \\[ ]-\infty, -1] \cap \left[\frac{-5}{3}, +\infty\right[ = \left[\frac{-5}{3}, -1\right]\\] -- Si \\( 3x + 5 < 0 \iff x \leq \frac{-5}{3}\\) - - Alors \\(\lvert 3x+5\rvert \leq 2\\) devient \\-(3x + 5 \leq 2\\) - - \\(\iff x \leq \frac{-7}{3}\\) - - > Ensemble des solutions trouvées pour ce cas : - \\[ \left[\frac{-7}{3}, +\infty\right[\cap\left]-\infty, \frac{-5}{3}\right[ = \left[\frac{-7}{3}, \frac{-5}{3}\right[\\] + - Si \\( 3x + 5 < 0 \iff x \leq \frac{-5}{3}\\) + - Alors \\(\lvert 3x+5\rvert \leq 2\\) devient \\-(3x + 5 \leq 2\\) + - \\(\iff x \leq \frac{-7}{3}\\) + - > Ensemble des solutions trouvées pour ce cas : + \\[ \left[\frac{-7}{3}, +\infty\right[\cap\left]-\infty, \frac{-5}{3}\right[ = \left[\frac{-7}{3}, \frac{-5}{3}\right[\\] -- > Conclusion: -\\[\\{x \vert\lvert 3x+5\rvert \leq 2 \\} = \left[\frac{-5}{3}, -1\right] \cup \left[\frac{-7}{3}, \frac{-5}{3}\right[ = \left[\frac{-7}{3}, -1\right] \\] + - > Conclusion: + \\[\\{x \vert\lvert 3x+5\rvert \leq 2 \\} = \left[\frac{-5}{3}, -1\right] \cup \left[\frac{-7}{3}, \frac{-5}{3}\right[ = \left[\frac{-7}{3}, -1\right] \\] diff --git a/src/math/ineq/second_degres.md b/src/math/ineq/second_degres.md new file mode 100644 index 0000000..b453a90 --- /dev/null +++ b/src/math/ineq/second_degres.md @@ -0,0 +1 @@ +# Second Degrés diff --git a/src/math/ineq/summary.md b/src/math/ineq/summary.md index 72917fe..088076c 100644 --- a/src/math/ineq/summary.md +++ b/src/math/ineq/summary.md @@ -1 +1,41 @@ # Inéquations + +## Exemples d'inéquations + +- \\(3x + 1 \leq 2x -1\\) (premier degrés) +- \\(\frac{x}{3x-9} \leq 4\\) (Conditions d'existence) +- \\(3x^2 - 3x - 7 \leq 8x + 9\\) (second degrés) +- \\((x+1)-1 \leq 3\\) (valeur absolue) +- \\(\frac{1}{\sqrt{x-1}-1} \leq 4\\) +- \\(\sin{(x+ \lvert x\rvert +\sqrt{x+2})} \leq 8x-1\\) + +## Notions + +- x est **solutions** (une valuer x \in \mathbb{R} est solution). + - Si on remplace x dans les 2 membres de l'inégalités, celle-ci est satisfaite + +- Notons \\(eq(x)\\) une inéquation(générale) en la variable x + +- \\(x\\) est solution si \\(eq(x)\\) est défini et \\(eq(x)\\) est Vrai + - peut ne pas être définit à cause des** Conditions d'éxistences** + +- Un **[ensemble](../logique/ensembles.html)** est une collection d'éléments "sans répétitions" et peut être: + - En extension: \\(\\{a_1, a_2, ..., n\\}\\) + - En Compréhension: + - l'ensemble des données comme tous les éléments qui vérifient un certains prédicat +- Un **ensembe de solutions**: +\\[ + \begin{align*} + \\{ x \vert x \in \mathbb{R} &\text{ et eq(x) est bien définit}\\}\\\\ + &\text{ et eq(x) est vrai} + \end{align*} +\\] + +- Un **Interval**: + +- [Opérations sur les ensembles](../logique/ensembles.md) + +- \\(A \text{ et } B\\) Sont disjoints si \\(A \cap B = \emptyset\\) + +- Résoudre une inéquation ex(x) c'est exprimer l'ensemble de ses solutions sous la forme d'une union **minimale** d'intervale + diff --git a/src/math/logique/ensembles.md b/src/math/logique/ensembles.md index 0cec998..e82e17f 100644 --- a/src/math/logique/ensembles.md +++ b/src/math/logique/ensembles.md @@ -14,13 +14,29 @@ - En **comprehension**, si on donne une formule qui décrit exactement les élements de l'ensemble \\[ \\{x | P(x)\\}\\] -- Soient \\(A, B\\) 2 ensembles. - - On dit que \\(A\\) est inclus a \\(B\\) noté \\(A \subseteq B\\) +- Soient \\(A, B\\) deux ensembles + - L'**union** de \\(A \text{ et } B \text{ noté } A\cup B = \\{x \vert x \in A \lor x \in B\\}\\) + - L'**intersection** de \\(A \text{ et } B \text{ noté } A\cap B = \\{x \vert x \in A \land x \in B\\}\\) + - On dit que \\(A\\) est **inclus** a \\(B\\) noté \\(A \subseteq B\\) ssi - \\(\forall x (x \in A) \implies (x \in B)\\) -- Soient \\(A, B\\) 2 ensembles. - - \\(A\\) et \\(B\\) sont + - \\(A\\) et \\(B\\) sont **égales** ssi - \\((A \subseteq B) \land (B \subseteq A)\\) +- Soit \\(\Omega\\) l'univers (ou domaine), Soit \\(A \subseteq \Omega\\) un ensemble + - Le **complémentaire** de \\(A\\), noté \\(A^c\\) + - \\(A^c = \\{ x \in \Omega \vert x\notin A\\}\\) + - Par démonstration, Soient \\(A, B \subseteq \mathbb{N} \qquad (A\cup B)^c = A^c \cup B^c\\) + +- **L'ensemble vide** est l'ensemble qui ne contient aucuns éléments. Il est noté \\(\emptyset \text{ ou } \\{\\}\\) + - Par démonstration, quel que soit \\(A\\), un ensemble: \\( \emptyset \subseteq A\\) + +> \\(\emptyset\\) est inclus dans \\(A\\) ssi \\(\forall x \quad x \in \emptyset \\implies x \in A\\) (par définition de l'inclusion)\ + \\[ + \text{Soit } A \quad \emptyset \subseteq A \\\\ + \forall a \quad (a\in \emptyset ) \implies (a \in A) + \\] + La prémisse est fausse donc l'implication est Vraie! + ### Ensemble réguliers Symbol | Nom | Ensemble