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Debucquoy Anthony 2022-10-12 20:37:54 +02:00
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# Les Systems
# Les Droites
## Intro
Considerons le vecteur \\((x,y)\\)
Recherchons quelques vecteurs colinéaires à \\((x,y)\\)
\\[
\lambda(2,3) \text{ où } \lambda \in \mathbb{R}
\\]
L'ensemble de ces vecteurs colinéaire à \\((x,y)\\) est la droite \\(D\\) passant par \\((0,0)\\)
et dont la direction est donnée par le vecteur \\((x,y)\\)
## Définitions
- l'**équation paramétrique** de \\(D\\): une égalitée qui sera satisfaite par tout point
\\[
D \equiv (x,y) = \lambda (2,3) \text{ où } \lambda \in \mathbb{R}
\\]
\\(\lambda\\) prend toutes les valeurs réelles. à chauqes fois qu'on donne une valeur à \\(\lambda\\) on à un point de la droite
- l'**équation cartésienne** de la droite \\(D\\):
\\[
ax + by = c
\\]
On dit que \\((a, b)\\) est un vecteur **Normal** de la droite
## Transformation
- **ep** to **ec**:
> \\(D_1 \equiv (x,y) = (-1, 1) + \lambda(2,3) \text{ où } \lambda \in \mathbb{R}\\)
1) Eliminer les paramètres:
\\[
\begin{align*}
&\begin{cases}
x &= -1+2\lambda \\\\
y &= 1 + 3\lambda
\end{cases}\\\\
&\begin{cases}
\frac{x+1}{2} = \lambda \\\\
\frac{y-1}{3} = \lambda \\\\
\end{cases}
\end{align*}
\\]
2) lier et simplifier la fonction
\\[
\begin{align*}
\frac{x+1}{2} &= \frac{y-1}{3}\\\\
3x + 3 &= 2y -2 \\\\
-3x +2y &= 5 \\\\
y &= \frac{3}{2}x + \frac{5}{2}
\end{align*}
\\]
- On a donc une équation de la forme \\(y = mx + p\\) où \\(m\\) est la pente de la droite et \\(p\\) est l'ordonée à l'origine[^prob]
3) Transformation en Equation cartésienne de la forme \\( ax + by = c \\)
[^prob]: Problème. Nous pouvons représenter une droite horizontale sous la forme : \\(y = p\\) Mais nous ne pouvons pas tracer de droite verticale.
- **ec** to **ep**:
Un vecteur directeur de la droite \\(D\\) peut être \\((1, m)\\)
Nous pouvons prendre un point de la droite avec p car (0,p) fait partie de la droite
- Il y a plusieurs facon d'obtenir m:
- \\(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\\)
- \\(m = \frac{-a}{b}\\)
- Une facon d'obtenir p:
- \\(p = \frac{c}{b}\\)
Donc
\\[
D \equiv (x, y) = (0, p) + \lambda(1, m) \text{ où } \lambda \in \mathbb{R}
\\]