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Application Linéaire
Nous parlons maintenant de fonctions.
Nous avons vu les fonctions:
- Injective: \( \forall a_1, a_2 \in A \quad a_1 \neq a_2 \implies f(a_1) \neq f(a_2)\)
- Surjective: \( \forall b \in B \exists a \in A \quad f(a) = b \) (Tout les points sources ont une destination)
- Bijective: Injective & Surjective
Application Linéaire
- Soient \( V_1, V_2 \subseteq \mathbb{R}^n \)
- On dit que \( L: V_1 \to V_2\) est une Application Linéaire ssi
- \( \forall u, v \in V_1 \quad L(u+v) = L(u) + L(v) \)
- \( \forall \lambda \in \mathbb{R} \quad L(\lambda v) = \lambda L(v) \)
- On dit que \( L: V_1 \to V_2\) est une Application Linéaire ssi
| Exemples | Contre-Exemples |
|---|---|
| L(x) = x | L(x) = |x| |
| L(x) = 2x | L(x) = 2x + 1 |
| L(x) = x² | |
| L(x) = sin(x) |
Image et Noyaux
- Soit \( L: V_1 \to V_2 \) Une application Linéaire
- \( Ker(L) = \{ v \in V_1 \mid L(v)=0 \} \) Noyau de L
- \( Im(L) = \{ v \in V_2 \mid \exists u \in V_1 \quad L(u) = v \} \) Image de L