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# Les Systèmes
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## Intro
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\\[
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D \equiv ax + by = c \\\
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D' \equiv a'x + b'y = c' \\\
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\\]
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On voudrais s'intérésser à l'ensemble \\(D \cap D'\\)
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Donc l'ensemble constitué des éventuels couples \\((x, y)\\) qui appartienent simultanément aux 2 droites
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On doit avoir
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\\[
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ax+bx=c \ \underline{et}\ a'x + b'y = c'
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\\]
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On résous donc le system:
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\\[
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\begin{cases}
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ax+by = c \\\\
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a'x+b'y = c'
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\end{cases}
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\\]
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## Résolution
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\\[
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\begin{cases}
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ax+by = c \\\\
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a'x+b'y = c'
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\end{cases}
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\\]
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- **Géométriquement**: Résoudre ce système revient à chercher les couples de \\((x, y)\\) qui appartiennent simultanément à \\(D \equiv ax + by = c \text{ et } D' \equiv a'x + b'y = c' \\)
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1) 1 Seul point d'intersection
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- \\( D \cap D' = \\\{(x^\*, y^\*)\\\} \\)\
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`ex : l'ensemble des solutions est :` \\(\\\{(\frac{-13}{7},\frac{-11}{7})\\\}\\)
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2) Aucuns point car \\(D \parallel D'\\)
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- \\( D \cap D' = \emptyset \\)
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3) Tous les points car les droites sont égales.
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- \\( D \cap D' = D \text{ ou } D' \\)\
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`ex : l'ensemble des solutions est :` \\(\\\{(\lambda, 2-3\lambda) \vert \lambda \in \mathbb{R}\\\}\\)
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- **Algébriquement**: Résoudre ce système revient à chercher les couples \\((x, y)\\) qui vérifient les 2 équations à la fois
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Résoudre un système c'est donner **l'ensemble** des Solutions
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## Démonstration
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\\[
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\begin{align*}
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D_1 \parallel D_2 &\iff \exists \lambda \in \mathbb{R}_0 \quad (a,b) = \lambda (a', b') \\\\
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&\iff \exists \lambda \in \mathbb{R}_0 \quad (a,b) = (\lambda a', \lambda b') \\\\
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&\iff \exists \lambda \in \mathbb{R}_0 \quad a = \lambda a' \text{ et } b = \lambda b' \\\\
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&\iff \exists \lambda \in \mathbb{R}_0 \quad \frac{a}{a'} = \lambda \text{ et } \frac{b}{b'} = \lambda \\\\
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&\iff ab' - a'b = 0 \\\\
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\end{align*}
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\\]
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> EX SUPP TODO: cas où a' et b' = 0
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Nous utiliserons alors le **determinant** du system noté \\(\begin{vmatrix} a & b \\\\ a' & b' \end{vmatrix}\\)
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Donc \\(D_1 \text{ et } D_2\\) sont sécantes \\(\iff ab' - a'b \neq 0\\)\
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Ou, Le systeme à une unique équation \\(\iff ab' - a'b \neq 0\\)
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### Méthodes
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- **Combinaisons**
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le principe est de multiplier l'une, l'autre ou les deux équations par une valeur qui va mettre x ou y à une valeur commune
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une fois fait, il suffit de soustraire les deux équations et l'autre valeurs se dégage
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- **Substitution**
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Le principe est de résoudre l'une des équations pour isoler le x ou y dans l'une des équations, puis de remplacer la valeur du x/y dans l'autre équation
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par la nouvelle valeur obtenue et ainsi de suite jusqu'a avoir les valeurs de chaques membres
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## Exemples
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\\((2,3)\\) est un vecteur Normal de \\(D\\).
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Cherchons un vecteur \\(a, b)\\) qui sera un vecteur normal de \\(D_2\\)
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On veut que \\(\left((2,-3)\vert(a,b)\right) = 0\\).
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> Prenons \\((a, b) = (3, 2) \text{ car } ((2,-3)\vert(3,2)) = 6 - 6 = 0\\)
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>
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> Donc \\(D_2 \equiv 3x + 2y = c\\)
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>
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> Comme \\((2, 1) \in D_2 \\) On remplace \\(x \text{ par } 2 \text{ et } y \text{ par } -1\\)
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>
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> \\( D_2 \equiv 3 \times 2 + 2\times 1 = 6 - 2 = 4 \\)
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>> Donc \\(D_2 \equiv 3x + 2y = 4 \\)
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Comme \\(D_1 \\parallel D\\), la droite \\(D_1\\) est aussi \\(\perp\\) à \\(D_2\\)
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=> à finir TODO
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