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Les Systèmes
Intro
\[ D \equiv ax + by = c \\ D' \equiv a'x + b'y = c' \\ \]
On voudrais s'intérésser à l'ensemble \(D \cap D'\)
Donc l'ensemble constitué des éventuels couples \((x, y)\) qui appartienent simultanément aux 2 droites
On doit avoir \[ ax+bx=c \ \underline{et}\ a'x + b'y = c' \]
On résous donc le system: \[ \begin{cases} ax+by = c \\ a'x+b'y = c' \end{cases} \]
Résolution
\[ \begin{cases} ax+by = c \\ a'x+b'y = c' \end{cases} \]
-
Géométriquement: Résoudre ce système revient à chercher les couples de \((x, y)\) qui appartiennent simultanément à \(D \equiv ax + by = c \text{ et } D' \equiv a'x + b'y = c' \)
- 1 Seul point d'intersection
- \( D \cap D' = \{(x^*, y^*)\} \)
ex : l'ensemble des solutions est :\(\{(\frac{-13}{7},\frac{-11}{7})\}\)
- \( D \cap D' = \{(x^*, y^*)\} \)
- Aucuns point car \(D \parallel D'\)
- \( D \cap D' = \emptyset \)
- Tous les points car les droites sont égales.
- \( D \cap D' = D \text{ ou } D' \)
ex : l'ensemble des solutions est :\(\{(\lambda, 2-3\lambda) \vert \lambda \in \mathbb{R}\}\)
- \( D \cap D' = D \text{ ou } D' \)
- 1 Seul point d'intersection
-
Algébriquement: Résoudre ce système revient à chercher les couples \((x, y)\) qui vérifient les 2 équations à la fois
Résoudre un système c'est donner l'ensemble des Solutions
Démonstration
\[ \begin{align*} D_1 \parallel D_2 &\iff \exists \lambda \in \mathbb{R}_0 \quad (a,b) = \lambda (a', b') \\ &\iff \exists \lambda \in \mathbb{R}_0 \quad (a,b) = (\lambda a', \lambda b') \\ &\iff \exists \lambda \in \mathbb{R}_0 \quad a = \lambda a' \text{ et } b = \lambda b' \\ &\iff \exists \lambda \in \mathbb{R}_0 \quad \frac{a}{a'} = \lambda \text{ et } \frac{b}{b'} = \lambda \\ &\iff ab' - a'b = 0 \\ \end{align*} \]
EX SUPP TODO: cas où a' et b' = 0
Nous utiliserons alors le determinant du system noté \(\begin{vmatrix} a & b \\ a' & b' \end{vmatrix}\)
Donc \(D_1 \text{ et } D_2\) sont sécantes \(\iff ab' - a'b \neq 0\)
Ou, Le systeme à une unique équation \(\iff ab' - a'b \neq 0\)
Méthodes
- Combinaisons
le principe est de multiplier l'une, l'autre ou les deux équations par une valeur qui va mettre x ou y à une valeur commune une fois fait, il suffit de soustraire les deux équations et l'autre valeurs se dégage
- Substitution
Le principe est de résoudre l'une des équations pour isoler le x ou y dans l'une des équations, puis de remplacer la valeur du x/y dans l'autre équation par la nouvelle valeur obtenue et ainsi de suite jusqu'a avoir les valeurs de chaques membres
Exemples
\((2,3)\) est un vecteur Normal de \(D\).
Cherchons un vecteur \(a, b)\) qui sera un vecteur normal de \(D_2\)
On veut que \(\left((2,-3)\vert(a,b)\right) = 0\).
Prenons \((a, b) = (3, 2) \text{ car } ((2,-3)\vert(3,2)) = 6 - 6 = 0\)
Donc \(D_2 \equiv 3x + 2y = c\)
Comme \((2, 1) \in D_2 \) On remplace \(x \text{ par } 2 \text{ et } y \text{ par } -1\)
\( D_2 \equiv 3 \times 2 + 2\times 1 = 6 - 2 = 4 \)
Donc \(D_2 \equiv 3x + 2y = 4 \)
Comme \(D_1 \parallel D\), la droite \(D_1\) est aussi \(\perp\) à \(D_2\) => à finir TODO