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# Dérivabilité des fonctions
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Une fonction \\( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\) est **dérivable** en un \\( a \in dom(f)\\) Si
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\\[
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\lim\limits_{x \to a \\\\ x \in dom(f) \backslash\\{a\\}} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \text{ existe }
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\\]
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Dans ce cas la dérivée de f en a est la valeur de \\(\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x) - g(x)}{x - a}\\)
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> Mais ceci require [l'unicitee de la limite](./chap2.md#unicitée-de-la-limite)
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Donc \\(a \in adh(dom(f) \backslash \\{a\\}) \cap dom(f) \\)
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Il faut qu'il existe \\((x\_n) \subseteq dom(f) \backslash \\{a\\} \text{ tq } x\_n \to a\\) (donc que a \\(\in dom(f)\\) ne soit pas un point isolé)
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- On dit que f est dérivable sur \\(A \subseteq dom(f)\\)
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- Si \\(\forall a\in A \quad a \in dom(f) \cap adh(dom(f) \backslash \\{a\\})\\) et f est dériable en a
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- si \\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\) est dérivable en \\(a \in dom(f)\\)
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- alors f est continue en a
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## Notation
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Quand la dérivée est définie, on la note
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- \\(f'(a)\\)
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- \\(D\_x f(a)\\)
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- \\(\partial \_x f(a)\\)
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- Si \\(f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\)
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- La **composée de f avec g** est la fonction \\((f \circ g)\\) définie par
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- \\(f \circ g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}: x \mapsto f (\circ g)(x) = f(g(x))\\)
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- \\(dom(f \circ g) = \\{x \in \mathbb{R} \vert x\in dom(g) et g(x) \in dom(f)\\}\\)
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- Dérivée de composée de fonctions
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- \\(\partial \_x (f(x)\vert \_{x = x} ) * \partial \_x g(x)\\)
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## Interpretation graphique
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Nous calculons donc la pente de la droite (\\(\frac{f(b) - f(a)}{b-a}\\))
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Mais nous prenons des valeurs où \\(b \to a\\) donc nous avons une fonction tangeante à la fonction
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- La droite **Tangeante** est la droite
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- de la pente \\(\partial f(a)\\)
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- passant par \\((a, f(a))\\)
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Une equation cartésienne serait : \\(y = f(a) + \partial f(a)\*(x-a)\\)
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- ex: \\(f(x) = x ^ 3 \quad a = 1\\)
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- \\(\partial f(x) = 3x^2 \quad \partial f(a) = 3\\)
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## Interpretation de l'hypothése
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- pour \\(a \in dom(f) \cap adh(dom(f) \backslash \\{a\\})\\)
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- Si a \\(\notin adh(dom(f) \backslash \\{a\\})\\)
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- alors \\(\exists r > 0 \quad [a-r, a+r] \cup dom(f) = \\{a\\}\\)
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- On ne pourrait pas trouver la dérivée car pas assez de points proche de a
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- Nous évitons juste d'avoir un point isolé
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## Régles de calculs
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- Soient \\(f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\) deux fonctions dérivables en a et \\(a \in dom(f) \cap dom(g) \cap adh(dom(f)\backslash \\{a\\}) \cap adh(dom(f)\backslash \\{a\\})\\)
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- Si \\(\partial (f+g)(a)\\)
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- Alors \\(\partial f(a) + \partial g(a)\\)
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- Si \\(\partial (f\*g)(a)\\)
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- Alors \\(\partial f(a) * g(a) + f(a) * \partial g(a)\\)
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- Si \\(\partial (f/g)(a)\\)
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- Alors \\(\frac{\partial f(a) * g(a) - f(a) * \partial g(a)}{(g(a))^2}\\)
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- Si \\(\partial (f\circ g)(a)\\)
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- \\(\partial f(g(a)) * \partial g(a)\\)
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## Dérivés de fonctions de base
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- \\(\partial \_x (k) = 0 \quad k \in \mathbb{R}\\)
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- \\(\partial \_x (x^n) = n * x ^{n - 1} \quad n \in \mathbb{Z}\\)
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- \\(\partial \_x (x^\alpha ) = \alpha * x ^{\alpha - 1} \quad \alpha \in \mathbb{R}\\)
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- \\(\partial \_x (cos(x)) = -sin(x) \\)
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- \\(\partial \_x (sin(x)) = cos(x) \\)
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- \\(\partial \_x (ln(x)) = 1/x\\)
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- \\(\partial \_x (e^x) = e^x\\)
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## fonctions réciproques
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Une fonction réciproque est l'image d'une fonction "inverse" (retournée sur l'axe x et l'axe y)
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- On appelle g la **fonction réciproque** de f et on la note \\(f ^{-1}\\) (attention, différent de \\(\frac{1}{f}\\))
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- \\(\forall x, x' \in dom(f) \quad x \neq x \quad f(x) \neq f(x')\\) (donc f une fonction injective)
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- \\(g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad y \mapsto (x \text{ tq } f(x) = g)\\) (est bien une fonction car f est injective)
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- \\(\implies dom(g) = Im(f)\\)
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- Pour ces fonction on sait que
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- \\(\forall x dom(f) \quad g(f(x)) = x\\)
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- \\(\forall y dom(g) \quad f(g(y)) = y\\)
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### Dérivée de fonctions réciproques
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\\[\partial f^{-1}(y) = \frac{1}{\partial f(f^{-1}(y))}\\]
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- Si \\(f: [a, b] \to \mathbb{R}\\) est injective et \\(c \in [a,b]\\) et f est dériable en c
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- Alors \\(f^{-1}\\) est dérivable en \\(f(c)\\) et \\(\partial f^{-1}(c) = \frac{1}{\partial f(c)}\\)
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### Dérivée de arcsin
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\\(sin(x)\\) n'est pas injective. on ne peux donc pas prendre sa réciproque
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on se restrain donc à l'interval \\([\frac{-\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \to \mathbb{R}\\) alors sin(x) est injective et nous pouvons prendre sa réciproque
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cette fonction est appelée arcsin et est la fonction réciproque de sin
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nous avons également arccos qui est la fonction réciproque de cos
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ainsi que arctan qui est la fonction réciproque de arctan
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- donc \\(dom(arcsin) = Im(sin) = [-1, 1]\\)
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- on a \\(\forall y \in [-1; 1] \quad sin(arcsin(y)) = y\\)
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- on a \\(\forall x \in [\frac{-\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \quad arcsin(sin(x)) = x\\)
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On peut dériver les 2 cotés de l'équation sur [-1;1] et nous pouvons en déduire que
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\\[\partial \_x arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - y^2}}\\]
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## Minimum et Maximum de fonctions
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**Rappel**: [Croissance et décroissance de fonctions](../ineq/sqrt.html#défintions)
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- Si f est croissante et dérivable en \\(a \in dom(f) \cap adh(dom(f) \backslash \\{a\\})\\)
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- Alors \\(\partial f(a) \geq 0\\)
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- Si \\(f: [a,b] \to \mathbb{R}\\) une application continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[
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- Si \\(\forall x \in ]a,b[ \quad \partial f(x) \geq 0\\)
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- alors f est croissante sur [a,b]
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- Soit \\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad a\in dom(f)\\)
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- a est un point **min** à f (ou f atteint son min en a)
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- Si \\(\forall x\in dom(f) \quad f(x) \geq f(a)\\)
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- Si \\(\partial f(a) = 0\\) et f est décroissante sur \\(]-\infty , a[\\) et f est croissante sur \\([a, +\infty [\\)
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- a est un point **max** à f (ou f atteint son min en a)
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- Si \\(\forall x\in dom(f) \quad f(x) \leq f(a)\\)
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Ces points a ne sont pas forcément unique. on peut avoir plusieurs a minimum mais \\(f(a) = f'(a)\\)
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- Si a est un min/max de f et f est dérivable en a
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- \\(\forall r > 0 \quad [a-r, a] \cap dom(f) \neq \emptyset \\) et \\(\forall r > 0 \quad [a, a+r] \cap dom(f) \neq \emptyset \\)
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- alors \\(\partial f(a) = 0\\)
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- Si \\(\partial f(a) = 0 \text{ et } \partial ^2 f(a) > 0\\)
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- alors \\(\exists r > 0 \quad \begin{align}& f \searrow \text{ sur } [a-r, a] \\\\ & f \nearrow \text{ sur } [a, a + r] \end{align}\\)
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- d'où a est un point min de f sur [a-r, a+r]
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- f est défini et dérivée 2 fois sur [a-e, a+e]\ (ou en général r < e)
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### Théorem de la moyenne
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Ce théorem décrit le fait que dans application continue, si nous prenons un interval [a,b] et regardons la pente entre a et b. nous pourons trouver un point qui à une valeur de dérivée égale à cette pente
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- Si \\(f: [a,b] \to \mathbb{R}\\) une application continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[
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- alors il existe un \\(\xi \in ]a,b[\\) tq \\(f(b) - f(a) = \partial f(\xi ) (b-a)\\)
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\\[
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\partial f(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}
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\\]
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## Dérivés multiples
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Il est possible de dériver la dérivée d'une fonction et ce à plusieurs reprise
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- Si \\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\)
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- On appelle la **fonction dérivée** la fonction \\(\partial f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad a \mapsto \partial f(a)\\)
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- \\(dom(\partial f) = \\{a \in dom(f) \vert a \in adh(dom(f) \backslash \\{a\\}) \text{ et a est dérivée en a }\\}\\)
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- si \\(a \in dom(\partial f) \cap adh(dom(\partial f) \backslash \\{a\\}\\)
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- alors, on peut regarder si \\(\partial(\partial f)(a)\\) existe.
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- Si c'est le cas, on appelle ca la dérivée seconde de f et on la note \\(\partial ^2 f(a)\\)
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- soit \\(k \in \mathbb{N}\\) si f possède k-1 dérivé sur un interval autour de \\(a \in dom(f) \text{ et } \partial ^{k-1} f\\) est dérivable en a
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- alors, on dit que la dérivée \\(k^e\\) dans f en a existe et on la note \\(\partial ^k f(a) = \partial (\partial ^{k-1} f) f(a)\\)
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Définition par récurence
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\\[
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\partial ^0 f = f \\\\
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\partial ^k = \partial(\partial ^{k-1} f)
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\\]
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