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Dérivabilité des fonctions

Une fonction \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) est dérivable en un \( a \in dom(f)\) Si \[ \lim\limits_{x \to a \\ x \in dom(f) \backslash\{a\}} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \text{ existe } \] Dans ce cas la dérivée de f en a est la valeur de \(\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x) - g(x)}{x - a}\)

Mais ceci require l'unicitee de la limite

Donc \(a \in adh(dom(f) \backslash \{a\}) \cap dom(f) \)

Il faut qu'il existe \((x_n) \subseteq dom(f) \backslash \{a\} \text{ tq } x_n \to a\) (donc que a \(\in dom(f)\) ne soit pas un point isolé)

• On dit que f est dérivable sur \(A \subseteq dom(f)\)

  • Si \(\forall a\in A \quad a \in dom(f) \cap adh(dom(f) \backslash \{a\})\) et f est dériable en a

• si \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) est dérivable en \(a \in dom(f)\)

  • alors f est continue en a

Notation

Quand la dérivée est définie, on la note

• \(f'(a)\)

• \(D_x f(a)\)

• \(\partial _x f(a)\)

• Si \(f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)

  • La composée de f avec g est la fonction \((f \circ g)\) définie par
    • \(f \circ g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}: x \mapsto f (\circ g)(x) = f(g(x))\)
      • \(dom(f \circ g) = \{x \in \mathbb{R} \vert x\in dom(g) et g(x) \in dom(f)\}\)

• Dérivée de composée de fonctions

  • \(\partial _x (f(x)\vert _{x = x} ) * \partial _x g(x)\)

Interpretation graphique

Nous calculons donc la pente de la droite (\(\frac{f(b) - f(a)}{b-a}\))

Mais nous prenons des valeurs où \(b \to a\) donc nous avons une fonction tangeante à la fonction

• La droite Tangeante est la droite
  • de la pente \(\partial f(a)\)
  • passant par \((a, f(a))\)

Une equation cartésienne serait : \(y = f(a) + \partial f(a)*(x-a)\)

• ex: \(f(x) = x ^ 3 \quad a = 1\)
  • \(\partial f(x) = 3x^2 \quad \partial f(a) = 3\)

Interpretation de l'hypothése

• pour \(a \in dom(f) \cap adh(dom(f) \backslash \{a\})\)
  • Si a \(\notin adh(dom(f) \backslash \{a\})\)
    • alors \(\exists r > 0 \quad [a-r, a+r] \cup dom(f) = \{a\}\)
      • On ne pourrait pas trouver la dérivée car pas assez de points proche de a
      • Nous évitons juste d'avoir un point isolé

Régles de calculs

• Soient \(f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) deux fonctions dérivables en a et \(a \in dom(f) \cap dom(g) \cap adh(dom(f)\backslash \{a\}) \cap adh(dom(f)\backslash \{a\})\)
  • Si \(\partial (f+g)(a)\)
    • Alors \(\partial f(a) + \partial g(a)\)
  • Si \(\partial (f*g)(a)\)
    • Alors \(\partial f(a) * g(a) + f(a) * \partial g(a)\)
  • Si \(\partial (f/g)(a)\)
    • Alors \(\frac{\partial f(a) * g(a) - f(a) * \partial g(a)}{(g(a))^2}\)
  • Si \(\partial (f\circ g)(a)\)
    • \(\partial f(g(a)) * \partial g(a)\)

Dérivés de fonctions de base

• \(\partial _x (k) = 0 \quad k \in \mathbb{R}\)
• \(\partial _x (x^n) = n * x ^{n - 1} \quad n \in \mathbb{Z}\)
• \(\partial _x (x^\alpha ) = \alpha * x ^{\alpha - 1} \quad \alpha \in \mathbb{R}\)
• \(\partial _x (cos(x)) = -sin(x) \)
• \(\partial _x (sin(x)) = cos(x) \)
• \(\partial _x (ln(x)) = 1/x\)
• \(\partial _x (e^x) = e^x\)

fonctions réciproques

Une fonction réciproque est l'image d'une fonction "inverse" (retournée sur l'axe x et l'axe y)

• On appelle g la fonction réciproque de f et on la note \(f ^{-1}\) (attention, différent de \(\frac{1}{f}\))
  • \(\forall x, x' \in dom(f) \quad x \neq x \quad f(x) \neq f(x')\) (donc f une fonction injective)
    • \(g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad y \mapsto (x \text{ tq } f(x) = g)\) (est bien une fonction car f est injective)
      • \(\implies dom(g) = Im(f)\)
  • Pour ces fonction on sait que
    • \(\forall x dom(f) \quad g(f(x)) = x\)
    • \(\forall y dom(g) \quad f(g(y)) = y\)

Dérivée de fonctions réciproques

\[\partial f^{-1}(y) = \frac{1}{\partial f(f^{-1}(y))}\]

• Si \(f: [a, b] \to \mathbb{R}\) est injective et \(c \in [a,b]\) et f est dériable en c
  • Alors \(f^{-1}\) est dérivable en \(f(c)\) et \(\partial f^{-1}(c) = \frac{1}{\partial f(c)}\)

Dérivée de arcsin

\(sin(x)\) n'est pas injective. on ne peux donc pas prendre sa réciproque

on se restrain donc à l'interval \([\frac{-\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \to \mathbb{R}\) alors sin(x) est injective et nous pouvons prendre sa réciproque

cette fonction est appelée arcsin et est la fonction réciproque de sin nous avons également arccos qui est la fonction réciproque de cos ainsi que arctan qui est la fonction réciproque de arctan

• donc \(dom(arcsin) = Im(sin) = [-1, 1]\)
• on a \(\forall y \in [-1; 1] \quad sin(arcsin(y)) = y\)
• on a \(\forall x \in [\frac{-\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \quad arcsin(sin(x)) = x\)

On peut dériver les 2 cotés de l'équation sur [-1;1] et nous pouvons en déduire que \[\partial _x arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - y^2}}\]

Minimum et Maximum de fonctions

Rappel: Croissance et décroissance de fonctions

• Si f est croissante et dérivable en \(a \in dom(f) \cap adh(dom(f) \backslash \{a\})\)

  • Alors \(\partial f(a) \geq 0\)

• Si \(f: [a,b] \to \mathbb{R}\) une application continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[

  • Si \(\forall x \in ]a,b[ \quad \partial f(x) \geq 0\)
    • alors f est croissante sur [a,b]

• Soit \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad a\in dom(f)\)

  • a est un point min à f (ou f atteint son min en a)
    • Si \(\forall x\in dom(f) \quad f(x) \geq f(a)\)
    • Si \(\partial f(a) = 0\) et f est décroissante sur \(]-\infty , a[\) et f est croissante sur \([a, +\infty [\)
  • a est un point max à f (ou f atteint son min en a)
    • Si \(\forall x\in dom(f) \quad f(x) \leq f(a)\)

Ces points a ne sont pas forcément unique. on peut avoir plusieurs a minimum mais \(f(a) = f'(a)\)

• Si a est un min/max de f et f est dérivable en a

  • \(\forall r > 0 \quad [a-r, a] \cap dom(f) \neq \emptyset \) et \(\forall r > 0 \quad [a, a+r] \cap dom(f) \neq \emptyset \)
    • alors \(\partial f(a) = 0\)

• Si \(\partial f(a) = 0 \text{ et } \partial ^2 f(a) > 0\)

  • alors \(\exists r > 0 \quad \begin{align}& f \searrow \text{ sur } [a-r, a] \\ & f \nearrow \text{ sur } [a, a + r] \end{align}\)
    • d'où a est un point min de f sur [a-r, a+r]
      • f est défini et dérivée 2 fois sur [a-e, a+e]\ (ou en général r < e)

Théorem de la moyenne

Ce théorem décrit le fait que dans application continue, si nous prenons un interval [a,b] et regardons la pente entre a et b. nous pourons trouver un point qui à une valeur de dérivée égale à cette pente

• Si \(f: [a,b] \to \mathbb{R}\) une application continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[
  • alors il existe un \(\xi \in ]a,b[\) tq \(f(b) - f(a) = \partial f(\xi ) (b-a)\) \[ \partial f(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a} \]

Dérivés multiples

Il est possible de dériver la dérivée d'une fonction et ce à plusieurs reprise

• Si \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)

  • On appelle la fonction dérivée la fonction \(\partial f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad a \mapsto \partial f(a)\)
    • \(dom(\partial f) = \{a \in dom(f) \vert a \in adh(dom(f) \backslash \{a\}) \text{ et a est dérivée en a }\}\)
    • si \(a \in dom(\partial f) \cap adh(dom(\partial f) \backslash \{a\}\)
      • alors, on peut regarder si \(\partial(\partial f)(a)\) existe.
        • Si c'est le cas, on appelle ca la dérivée seconde de f et on la note \(\partial ^2 f(a)\)

• soit \(k \in \mathbb{N}\) si f possède k-1 dérivé sur un interval autour de \(a \in dom(f) \text{ et } \partial ^{k-1} f\) est dérivable en a

  • alors, on dit que la dérivée \(k^e\) dans f en a existe et on la note \(\partial ^k f(a) = \partial (\partial ^{k-1} f) f(a)\)

Définition par récurence

\[ \partial ^0 f = f \\ \partial ^k = \partial(\partial ^{k-1} f) \]