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5ffa011f24
GPG Key ID:
A78D6421F083D42E
@ -12,19 +12,37 @@ La limite d'une fonction se note \\[\lim\limits_{x \to a}f(x) = b\\] ou \\[f(x)
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Pour considérer \\(f(x) \xrightarrow[x \to a]{} b\\) on demande que \\(a \in adh(dom(f))\\)[^adh]
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**Attention** la notation \\(\to \text{ et } \lim\\) ne sont pas les mêmes...
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En effet, si \\(a \nin adh(dom(f))\\) alors f(x) tend vers b est vrai mais lim f(x) n'existe pas
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En effet, si \\(a \notin adh(dom(f))\\) alors f(x) tend vers b est vrai mais lim f(x) n'existe pas
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**ATTENTION**: pour l'examen! seul manière de le prouver
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- Soient \\(A, B \subseteq \mathbb{R} \text{ et } B \subseteq A\\)
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- Si \\(\lim\limits_{x\to a \\\\ x\in A}f(x) = b\\)
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- Alors \\(\lim\limits_{x\to a \\\\ x\in B}f(x) = b\\)
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### L'unicitée de la limite
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**idée**: Pour \\(\lim\limits_{x \to a} f(x) = b\\), si \\(a \in dom(f)\\) alors,
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- soit \\(\lim\limits_{x\to a} f(x)\\) n'éxiste pas
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- soit \\(\lim\limits_{x\to a} f(x)\\) existe et vaut f(a)
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## Limites possibles
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\\[
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\lim\limits_{x \to \begin{cases}b \in \mathbb{R} \\\\ +\infty \\\\ -\infty\end{cases}}f(x) = \begin{cases}b \in \mathbb{R} \\\\ +\infty \\\\ -\infty\end{cases}
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\\]
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### Unicitée de la limite
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- Soient \\(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad a \in adh(dom(f)) \quad b_1, b_2 \in \mathbb{R} \cup \\{ - \infty , + \infty \\}\\)
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- Si \\(f(x) \xrightarrow[x \to a]{} b_1 et f(x) \xrightarrow[x \to a]{} b_2\\)
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- alors \\(b_1 = b_2\\)
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- si \\(\exists (x_n), (y_n) \subseteq dom(f) \text{ tel que } x_n \to a \text{ et } y_n \to a \text{ et } f(x_n) \to b \text{ et } f(y_n) \to b' ( b \neq b' )
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- si \\(\exists (x_n), (y_n) \subseteq dom(f) \text{ tel que } x_n \to a \text{ et } y_n \to a \\) et \\(f(x_n) \to b \text{ et } f(y_n) \to b' ( b \neq b' )\\)
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- alors \\(\lim\limits_{x \to a}f(x)\\) n'existe pas
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## l'adhérence
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- S'il existe 2 ensembles \\(A_1, A_2\\) tel que
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- \\(\lim\limits_{x \to a \\\\ x \in A_1}f(x) \text{ et }\lim\limits_{x \to a \\\\ x \in A_2}f(x)\\) existent et sont différentes,
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- Alors \\(\lim\limits_{x\to a} f(x)\\) n'éxiste pas
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## Adhérence
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l'adherence d'un ensemble coorespond à l'ensemble lui meme uni avec les points adherents
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@ -32,17 +50,109 @@ l'adherence d'un ensemble coorespond à l'ensemble lui meme uni avec les points
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- **L'adhérence** de E est l'ens noté \\(adh(E)\\) défini par
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- \\(adh(E) = \\{x \in \mathbb{R} \vert \exists (x\_n) \subseteq E \quad x\_n \to x\\}\\)
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- **remarques**
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- **Remarques**
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- \\(E \subseteq adh(E)\\)
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- \\(adh(E) \nsubseteq E\\)
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- Il peut arriver que \\(E = adh(E)\\)
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- Toutes les suites sont adh à \\(\mathbb{R}\\) et \\(adh(\mathbb{R}) = \mathbb{R}\\)
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## Régles de calculus
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- Soient \\(f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad a\in adh(dom(f)) \quad b,c \in \mathbb{R}\\)
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- Si \\(\lim\limits_{x \to a} f(x) = b \text{ et } \lim\limits_{x \to a} g(x) = c\\)
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- Alors \\(\lim\limits_{x \to a} f(x) + g(x) = b + c\\)
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- Alors \\(\lim\limits_{x \to a} f(x) * g(x) = b * c\\)
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- Alors \\(\lim\limits_{x \to a} f(x) / g(x) = b / c (\text{si } c\neq 0)\\)
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- **Remarque**
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- \\(dom(f+g) = dom(f) \cap dom(g)\\)
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- \\(dom(f\*g) = dom(f) \cap dom(g)\\)
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- \\(dom(f/g) = dom(f) \cap dom(g)\backslash \\{0\\}\\)
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## Théorem de localité
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Si nous regardons la fonction sur un interval pertinent pour étudier la convergence de cette fonction, nous pouvons en déduire la convergence en un point de cette fonction
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- Soient \\(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad a \in adh(dom(f)) \quad b \in \mathbb{R} \cup \\{-\infty , +\infty \\} \quad r > 0\\)
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- On a \\(\lim\limits_{x\to a} f(x) = b \text{ ssi } \lim\limits_{x\to a \\\\ x\in [a-r,a+r]} f(x) = b\\)
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Notre définition devient alors \\(\forall (x\_n) \subseteq dom(f) \cap A \quad (x\_n \to a) \implies (f(x\_n) \to b) \text{ où } A =[a-r,a+r]\\)
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Ce qui veut dire que sur cet interval, nous pouvons y trouver une convergence vers un point. et par unicitée de a limite, si ce point converge, alors ce point converge peut import l'interval de la fonction!
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## Théorem d'exhaustivité
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Certaines fonctions ne nous permettent pas de connaitre la valeur d'une limite d'un simple coup d'oeuil. ou bien cette valeur peut être ambigue car est sur un "point jonction".
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Nous utilisons alors le théorem d'exhaustivité.
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Le but est de poser plusieurs sous-ensemble du domaine qui ensemble forment le domaine lui même (exhaustif). et ensuite d'étudier la limite sur chaquns de ces ensembles
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par exhaustivitée nous verons si une seule limite ou si plusieurs limites sont présentes... dans le cas d'une seul limite, nous savons que notre limite existe. dans le cas contraire, notre limite n'éxiste pas
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à cause de l'unicité de notre limite...
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- Soit \\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad a, b \in \mathbb{R} \quad A\_1, A\_2 \subseteq \mathbb{R}\\)
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- on prend \\(r \in \mathbb{R} \text{ tq } r > 0 \\) et \\([a-r, a+r] \cup dom(f) \subset A_1 \cup A_2\\)
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- Si \\(f(x) \xrightarrow[\substack{x \to a \\\\ x\in A_1}]{} b\\) et \\(f(x) \xrightarrow[\substack{x \to a \\\\ x\in A_2}]{} b\\)
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On peut également utiliser cette formule, plus précise dans certains cas:
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- Soit \\(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad a\in \mathbb{R} \text{ tq } a \in adh(]-\infty , a[ \cap dom(f)) \text{ et } a \in adh(]a, + \infty [ \cap dom(f))\\)
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- si \\(\lim\limits_{x\to a \\\\ x < a} f(x) \text{ et } \lim\limits_{x\to a \\\\ x > a} f(x)\\) existent, sont égales et valent f(a)
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- alors \\(\lim\limits_{x \to a} f(x)\\) existe et vaut cette valeur commune
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## Théorem des valeurs intérmédiaires
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On sait que si dans l'interval d'une fonction, le début et la fin de cet interval sont de signes opposés, que nous trouverons au moins un point de la droite qui croisera l'axe des abscisses
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- Soient \\(f: [a, b] \to \mathbb{R}\\) une application continue tq \\(f(a) * f(b) < 0\\)
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- Alors il existe \\(\xi \in ]a, b[ \text{ tq } f(\xi ) = 0\\)
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> Nous voyons l'importantce des hypothéses! Si la fonction n'est pas une application continue, ou que les signes ne sont pas opposés ou encore que nous regardons la fonction sur un autre ensemble.
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> Alors le théorem ne serait pas forcément vrai!
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## Convergence dominée
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**Attention pour l'examen!!**
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La convergence dominée permet de comparer la limite d'une fonction (g(x)) pour en déduire la convergence d'une fonctione plus petit que sa valeur absolue diminuée d'un réel.
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- Soient \\(f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad a \in adh(dom(f)) \quad b \in \mathbb{R}\\)
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- Supposons qu'il existe un réel \\(r > 0 \text{ tel que } [a - r, a + r] \cap dom(f) \subset Dom(g)\\) et \\(\forall x \in [a-r, a+r] \cap dom(f) \quad \vert f(x) - b \vert \leq g(x)\\)
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- alors si \\( g(x) \xrightarrow[x \to a]{} 0, x \in A\\)
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- On a \\(f(x) \xrightarrow[x \to a]{} b, x \in A\\)
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## La continuitée des fonctions
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On parle d'une fonction continue lorsque tout les points de cette fonction sont continue.
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Un point d'une fonction est continue si celui-ci a une limite et que la valeur de cette limite est la valeur de la fonction en ce point
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On dit souvent que c'est une fonction qui se trace sans lever le crayon. mais c'est faux!
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déjà cela dépend du domaine de la fonction
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- Soient \\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad a \in dom(f)\\)
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- On dit que f est **continue en a**
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- si \\(\lim\limits_{x\to a} f(x) = f(a)\\)
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- (déf par suites) \\(\forall (x\_n) \subseteq dom(f) \quad x\_n \to a \implies f(x\_n) \to f(a)\\)
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- On dit que f est **continue**
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- si \\(\forall a \in dom(f) \quad f \text{ est continue en } a\\)
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Finalement, f est continue lorsque un point du domaine ne converge pas... c'est graphiquement lorsqu'il y a une cassure dans la fonction. mais si cette cassure apparait sur un point qui n'est pas dans le domaine, alors la fonction reste continue
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On note alors \\(\mathscr{C}(A, B) = \\{f:A\to B \vert f \text{ est une application continue }\\}\\)\
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(ex: \\(f(x) = x^2 \qquad f \in \mathscr{C}(\mathbb{R}, \mathbb{R})\\))
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### Régles de calculs
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- Soient \\(f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad a\in dom(f) \quad a\in dom(g)\\)
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- Si f et g sont continue en a
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- Alors \\(f + g\\) est aussi continue en a
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- Alors \\(f * g\\) est aussi continue en a
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- Alors \\(f / g\\) est aussi continue en a (si \\(g(a) \neq 0\\))
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- Si f est continue en \\(a \in dom(f)\\) et g est continue en \\(f(a) \in dom(g)\\)
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- alors \\(g \circ f\\) est continue en a
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[^adh]:[L'adhérence](#ladhérence)
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@ -2,14 +2,118 @@
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Une fonction \\( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\) est **dérivable** en un \\( a \in dom(f)\\) Si
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\\[
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\lim\limits_{x \to a \\\\ x \in dom(f) \\{a\\}} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \text{ existe }
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\lim\limits_{x \to a \\\\ x \in dom(f) \backslash\\{a\\}} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \text{ existe }
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\\]
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Dans ce cas la dérivée de f en a est la valeur de \\(\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x) - g(x)}{x - a}\\)
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> Mais ceci require l'unicitee de la limite
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> Mais ceci require [l'unicitee de la limite](./chap2.md#unicitée-de-la-limite)
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Donc \\(a \in adh(dom(f) \backslash \\{a\\}) \cap dom(f) \\)
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Il faut qu'il existe \\((x\_n) \subseteq dom(f) \backslash \\{a\\} \text{ tq } x\_n \to a\\) (donc que a \\(\in dom(f)\\) ne soit pas un point isolé)
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## Notation
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Quand la dérivée est définie, on la note
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- \\(f'(a)\\)
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- \\(D\_x f(a)\\)
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- \\(\partial \_x f(a)\\)
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- Si \\(f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\)
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- La **composée de f avec g** est la fonction \\((f \circ g)\\) définie par
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- \\(f \circ g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}: x \mapsto f (\circ g)(x) = f(g(x))\\)
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- \\(dom(f \circ g) = \\{x \in \mathbb{R} \vert x\in dom(g) et g(x) \in dom(f)\\}\\)
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- Dérivée de composée de fonctions
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- \\(\partial \_x (f(x)\vert \_{x = x} ) * \partial \_x g(x)\\)
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## Interpretation graphique
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Nous calculons donc la pente de la droite (\\(\frac{f(b) - f(a)}{b-a}\\))
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Mais nous prenons des valeurs où \\(b \to a\\) donc nous avons une fonction tangeante à la fonction
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- La droite **Tangeante** est la droite
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- de la pente \\(\partial f(a)\\)
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- passant par \\((a, f(a))\\)
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Une equation cartésienne serait : \\(y = f(a) + \partial f(a)\*(x-a)\\)
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- ex: \\(f(x) = x ^ 3 \quad a = 1\\)
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- \\(\partial f(x) = 3x^2 \quad \partial f(a) = 3\\)
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## Interpretation de l'hypothése
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- pour \\(a \in dom(f) \cap adh(dom(f) \backslash \\{a\\})\\)
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- Si a \\(\notin adh(dom(f) \backslash \\{a\\})\\)
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- alors \\(\exists r > 0 \quad [a-r, a+r] \cup dom(f) = \\{a\\}\\)
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- On ne pourrait pas trouver la dérivée car pas assez de points proche de a
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- Nous évitons juste d'avoir un point isolé
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## Régles de calculs
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- Soient \\(f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\) deux fonctions dérivables en a et \\(a \in dom(f) \cap dom(g) \cap adh(dom(f)\backslash \\{a\\}) \cap adh(dom(f)\backslash \\{a\\})\\)
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- Si \\(\partial (f+g)(a)\\)
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- Alors \\(\partial f(a) + \partial g(a)\\)
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- Si \\(\partial (f\*g)(a)\\)
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- Alors \\(\partial f(a) * g(a) + f(a) * \partial g(a)\\)
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- Si \\(\partial (f/g)(a)\\)
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- Alors \\(\frac{\partial f(a) * g(a) - f(a) * \partial g(a)}{(g(a))^2}\\)
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- Si \\(\partial (f\circ g)(a)\\)
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- \\(\partial f(g(a)) * \partial g(a)\\)
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## Dérivés de fonctions de base
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- \\(\partial \_x (k) = 0 \quad k \in \mathbb{R}\\)
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- \\(\partial \_x (x^n) = n * x ^{n - 1} \quad n \in \mathbb{Z}\\)
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- \\(\partial \_x (x^\alpha ) = \alpha * x ^{\alpha - 1} \quad \alpha \in \mathbb{R}\\)
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- \\(\partial \_x (cos(x)) = -sin(x) \\)
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- \\(\partial \_x (sin(x)) = cos(x) \\)
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- \\(\partial \_x (ln(x)) = 1/x\\)
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- \\(\partial \_x (e^x) = e^x\\)
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## fonctions réciproques
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Une fonction réciproque est l'image d'une fonction "inverse" (retournée sur l'axe x et l'axe y)
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- On appelle g la **fonction réciproque** de f et on la note \\(f ^{-1}\\) (attention, différent de \\(\frac{1}{f}\\))
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- \\(\forall x, x' \in dom(f) \quad x \neq x \quad f(x) \neq f(x')\\) (donc f une fonction injective)
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- \\(g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad y \mapsto (x \text{ tq } f(x) = g)\\) (est bien une fonction car f est injective)
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- \\(\implies dom(g) = Im(f)\\)
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- Pour ces fonction on sait que
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- \\(\forall x dom(f) \quad g(f(x)) = x\\)
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- \\(\forall y dom(g) \quad f(g(y)) = y\\)
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### Dérivée de fonctions réciproques
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\\[\partial f^{-1}(y) = \frac{1}{\partial f(f^{-1}(y))}\\]
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- Si \\(f: [a, b] \to \mathbb{R}\\) est injective et \\(c \in [a,b]\\) et f est dériable en c
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- Alors \\(f^{-1}\\) est dérivable en \\(f(c)\\) et \\(\partial f^{-1}(c) = \frac{1}{\partial f(c)}\\)
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### Dérivée de arcsin
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\\(sin(x)\\) n'est pas injective. on ne peux donc pas prendre sa réciproque
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on se restrain donc à l'interval \\([\frac{-\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \to \mathbb{R}\\) alors sin(x) est injective et nous pouvons prendre sa réciproque
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cette fonction est appelée arcsin et est la fonction réciproque de sin
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nous avons également arccos qui est la fonction réciproque de cos
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ainsi que arctan qui est la fonction réciproque de arctan
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- donc \\(dom(arcsin) = Im(sin) = [-1, 1]\\)
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- on a \\(\forall y \in [-1; 1] \quad sin(arcsin(y)) = y\\)
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- on a \\(\forall x \in [\frac{-\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \quad arcsin(sin(x)) = x\\)
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On peut dériver les 2 cotés de l'équation sur [-1;1] et nous pouvons en déduire que
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\\[\partial \_x arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - y^2}}\\]
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## Minimum et Maximum de fonctions
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**Rappel**: [Croissance et décroissance de fonctions](../ineq/sqrt.html#défintions)
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- Si f est croissante et dérivable en \\(a \in dom(f) \cap adh(dom(f) \backslash \\{a\\})\\)
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- Alors \\(\partial f(a) \geq 0\\)
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