first page chap2

src/math/calculus/chap2.md

@@ -9,3 +9,40 @@ La limite d'une fonction se note \\[\lim\limits_{x \to a}f(x) = b\\] ou \\[f(x)
         - \\(\forall (x\_n) \subseteq dom(f) \quad (x\_n \to a) \implies (f(x\_n) \to b)\\)
 
 
+Pour considérer \\(f(x) \xrightarrow[x \to a]{} b\\) on demande que \\(a \in adh(dom(f))\\)[^adh]
+
+**Attention** la notation \\(\to \text{ et } \lim\\) ne sont pas les mêmes...
+En effet, si \\(a \nin adh(dom(f))\\) alors f(x) tend vers b est vrai mais lim f(x) n'existe pas
+
+
+### L'unicitée de la limite
+
+- Soient \\(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad a \in adh(dom(f)) \quad b_1, b_2 \in \mathbb{R} \cup \\{ - \infty , + \infty \\}\\)
+    - Si \\(f(x) \xrightarrow[x \to a]{} b_1 et f(x) \xrightarrow[x \to a]{} b_2\\)
+        - alors \\(b_1 = b_2\\)
+
+- si \\(\exists (x_n), (y_n) \subseteq dom(f) \text{ tel que } x_n \to a \text{ et } y_n \to a \text{ et } f(x_n) \to b \text{ et } f(y_n) \to b' ( b \neq b' )
+    - alors \\(\lim\limits_{x \to a}f(x)\\) n'existe pas
+
+## l'adhérence
+
+l'adherence d'un ensemble coorespond à l'ensemble lui meme uni avec les points adherents
+
+- Soit \\(E \subseteq \mathbb{R}\\)
+    - **L'adhérence** de E est l'ens noté \\(adh(E)\\) défini par
+        - \\(adh(E) = \\{x \in \mathbb{R} \vert \exists (x\_n) \subseteq E \quad x\_n \to x\\}\\)
+
+- **remarques**
+    - \\(E \subseteq adh(E)\\)
+    - \\(adh(E) \nsubseteq E\\)
+    - Il peut arriver que \\(E = adh(E)\\)
+    - Toutes les suites sont adh à \\(\mathbb{R}\\) et \\(adh(\mathbb{R}) = \mathbb{R}\\)
+
+
+## Théorem de localité
+
+- Soient \\(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad a \in adh(dom(f)) \quad b \in \mathbb{R} \cup \\{-\infty , +\infty \\} \quad r > 0\\)
+    - On a \\(\lim\limits_{x\to a} f(x) = b  \text{ ssi } \lim\limits_{x\to a \\\\ x\in [a-r,a+r]} f(x) = b\\)
+
+[^adh]:[L'adhérence](#ladhérence)
+