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Les Plans
Definitions
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une equation cartésienne d'un plan est de la forme: \[ ax + by + cz = d \text{ où } a, b, c, d \in \mathbb{R} \text{ et } (a,b,c) \neq (0,0,0) \]
- \((a,b,c)\) est un vecteur normal du plan
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une equation paramétrique d'un plan est de la forme: \[ \alpha \equiv (x,y,z) = (x_1, y_1, z_1) + \lambda (x_{d_1},y_{d_1},z_{d_1}) + \mu (x_{d_2},y_{d_2},z_{d_2}) \text{ où } \lambda , \mu \in \mathbb{R}\\ ex: \alpha \equiv (x,y,z) = (1, 2, 3) + \lambda (-1,2,-4) + \mu (3,-7,11) \text{ où } \lambda , \mu \in \mathbb{R}\\ \]
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Le vecteur \((a,b,c)\) est un vecteur normal du plan.
- Tout vecteur colineaire de ce vecteur est aussi un vecteur normal du plan
ex : \(\alpha = 5x - 2y + 7z = 1 \) Un vecteur normal de \(\alpha \text{ est } (5, -2, 7)\)
- Soient \(P = (p_1, p_2, p_3) \text{ et } Q = (q_1, q_2, q_3)\) Deux points quelconques de \(\alpha\) dans un plan
- Le vecteur \(v\) joingnant p à Q est orthogonale à \((a,b,c) \quad P \in \alpha\)\
Comme P appartient à \(\alpha\), on à: \(ap_1 + bp_2 + cp_3 = d\)
Comme Q appartient à \(\alpha\), on à: \(aq_1 + bq_2 + cq_3 = d\)
faisons \((ap_1 + bp_2 + cp_3 = d) - (aq_1 + bq_2 + cq_3 = d)\)
càd \( \big( (a,b,c)\vert (q_1 - p_1, q_2 - p_2, q_3 - p_3)\big) = 0\)
où \((q_1 - p_1, q_2 - p_2, q_3 - p_3) \equiv q - p = v\)\
- Le vecteur \(v\) joingnant p à Q est orthogonale à \((a,b,c) \quad P \in \alpha\)\
Les droites de l'espace
- Une equation Paramètrique de \(D \in \mathbb{R}^3\) est:
\[
D \equiv (x,y,z) = (x_1, y_1, z_1) + \lambda (x_d,y_d,z_d) \text{ où } \lambda \in \mathbb{R}
\]
- où \((x_1, y_1, z_1)\) est un point de \(D\)
- où \(x_d, y_d, z_d\) est un vecteur directeur de \(D \quad(\neq (0,0,0))\) \[ ex: D \equiv (x,y,z) = (1, -2, 3) + \lambda (4, -1, 6) \text{ où } \lambda \in \mathbb{R} \]
En y enlevant le paramètre \(\lambda\) à l'aide d'un système nous obtenons une triple égalitée. par example: \[ \frac{x-1}{4} = -y-2 = \frac{z-3}{6} \]
Nous pouvons écrire ces égalités sous la forme d'un système \[ \begin{cases} \frac{x-1}{4} = -y-2 \\ -y-2 = \frac{z-3}{6} \end{cases} = \begin{cases} x + 4y = -7 -6y - z = 9 \end{cases} \]
Nous avons 2 équations de plans. Si nous prenons le vecteur normal \((1,4,0) \text{ est } \perp (4, -1, 6)\)
Il y a une infinitée d'éq à 3 inconnues qui décrivent la droite D
- Soit \(D \equiv (x,y,z) = (x_1, y_1, z_1) + \lambda (x_d,y_d,z_d) \text{ où } \lambda \in \mathbb{R}\)
- Un Système d'équations cartésienne de \(D\) est: \[ \frac{x-x_1}{x_d} = \frac{y-y_1}{y_d} = \frac{z-z_1}{z_d} \]