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Suite numérique et leurs convergences

Une Suite est une collection de nombres Infinie et Ordonée de nombres réels. - Infinie: Ne s'arrete pas - Ordonée: La place des nombres dans la suite est importante

Nous cherchons à savoir quelle est la valeur de l'élément situé à une position donnée

Fonctions

On parle alors de fonction pour définir une suite:

\[ n \mapsto x_n \] où n est l'indice (\(\in\mathbb{N}\)) et \(x_n\) est l'élément (\(\in\mathbb{R}\))

Rappel

Une fonction est une relation qui à chaques éléments de A fait corespondre au plus, un élément de B \[ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}: x\mapsto y = x^2 \]

Atention, A n'est pas forcément le domaine mais \(f \subseteq A\) Toujours

Le domaine d'une suite

Pour trouver le domaine d'une suite, Nous pouvons chercher ses conditions d'éxistences. Si ces conditions permettent une suite infinie On cherche la valeur ordonnée de départ et le domaine est noté comme suit

• Une suite est une fonction tel que
  • \(I \to \mathbb{R}: n \mapsto x_n \text{ où } I = \mathbb{N}^{\geq k} \text{ où } k\in \mathbb{N}\)

Notation

le terme générale d'une suite est noté \[ \Large{(x_n)_{n \in \mathbb{N}^{\geq k}} \subseteq \mathbb{R}} \]

Il n'est pas toujours possible de trouver une formule pour une suite (i.e.: suite de nombre premiers)

On peut aussi définir une suite par récurence. \[ (x_n) _{n \in \mathbb{N}} \quad \begin{cases} &x_0=3 \\ &\forall n \in\mathbb{N}\quad x _{n+1}= x_n + 4 \end{cases} \]

C'est une suite arithmétique de raison 4 (Pour passer à l'élément suivant on ajoute 4)

• Une suite arithmétique \((x_n)_{n\in \mathbb{N}}\) est définie par:
  • \(\begin{cases} x_0 \in \mathbb{R} \\ \forall n \in \mathbb{N} \quad x_{n + 1} = x_n + r \end{cases}\)
    • r est la raison

\[ \forall n \in \mathbb{N} \quad x_n = x_0 + n * r \]

• Une suite géométrique \((x_n)_{n\in \mathbb{N}}\) est définie par:
  • \(\begin{cases} x_0 \in \mathbb{R} \\ \forall n \in \mathbb{N} \quad x_{n + 1} = qx_n \end{cases}\)
    • q est la raison

\[ \forall n \in \mathbb{N} \quad x_n = x_0 * q^n \]

Convergence

1. \((x_n)\) converge vers un réel a si \(x_n\) est proche de a lorsque n devient grand
2. La distance entre \(x_n\) et a est de plus en plus petite (peut contenir l'élément vers lequel il converge (ex: \((0)_{n \in \mathbb{N}}\))
3. Une suite \((x_n)\) converge vers un réel a si la distance entre \(x_n \text{ et } a\) peut être rendue aussi petite que je le veux.

• Unicitée de la limite:
  • Soient \((x_n) \subseteq \mathbb{R} \text{ et } a_1, a_2 \in \mathbb{R}\)
    • Si \((x_n)\) converge à la fois vers \(a_1 \text{ et vers } a_2 \text{ alors } a_1 = a_2\)

Notation

Pour exprimer que \((x_n)\) converge vers a: \[ x_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} a \quad \text{ Ou } \quad \lim_{n \to +\infty}x_n = a \]

Regles de calculs

1. La suite de constante \(a \in \mathbb{R}\), noté \((a)_{n \in \mathbb{N}}\) converge vers a
2. \((\frac{1}{n^P}) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 \text{ si } P > 0\)
3. \((a^n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 \text{ si } a \in ]-1,1[\)

• Soient \(a, b \in \mathbb{R}\) et \((x_n), (y_n)\) deux suites de réels.
  • On suppose que \(\lim\limits_{n \to \infty} x_n = a \)
  • On suppose que \(\lim\limits_{n \to \infty} y_n = b \)
    1. \(\lim\limits_{n \to \infty}x_n + y_n = a + b\)
    2. \(\lim\limits_{n \to \infty}x_n * y_n = a * b\)
    3. \(\lim\limits_{n \to \infty}\frac{x_n}{y_n} = \frac{a}{b}\)