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Suite numérique et leurs convergences

Une Suite est une collection Infinie et Ordonée de nombres réels.

• Infinie: Ne s'arrete pas
• Ordonée: La place des nombres dans la suite est importante

Nous cherchons à savoir quelle est la valeur de l'élément situé à une position donnée

Une suite est également une fonction de la forme:

\[ n \mapsto x_n \]

où n est l'indice (\(\in\mathbb{N}\)) et \(x_n\) est l'élément (\(\in\mathbb{R}\))

Rappel

Une fonction est une relation qui à chaques éléments de A fait corespondre au plus, un élément de B \[ f: A \to B: x\mapsto y = x^2 \]

Attention, A n'est pas forcément le domaine mais \(f \subseteq A\) Toujours

Le domaine d'une suite

Pour trouver le domaine d'une suite, Nous pouvons chercher ses conditions d'éxistences. Si ces conditions permettent une suite infinie On cherche la valeur ordonnée de départ et le domaine est noté comme suit

• Une suite est une fonction tel que
  • \(I \to \mathbb{R}: n \mapsto x_n \text{ où } I = \mathbb{N}^{\geq k} \text{ où } k\in \mathbb{N}\)

Borne ou majoration

On dit qu'une suite est majorée ou bornée supérieurement / minorée ou bornée inférieurement s'il existe \[R \in \mathbb{R} \quad \forall n \in I, x_n \leq R \text { / } x_n \geq R\] Ce \(R\) est appelé un majorant / un minorant

• Soit \((x_n)_{n\in I} \subseteq \mathbb{R}\), si soit:

  • \((x_n)\) est Croissante et Majorée,
  • \((x_n)\) est Décroissante et Minorée,
    • Alors \((x_n)\) Converge au sens strict
  • \((x_n)\) est Croissante et Non Majorée,
    • Alors \(x_n \xrightarrow[n \to + \infty]{} + \infty\)
  • \((x_n)\) est Décroissante et Non Minorée,
    • Alors \(x_n \xrightarrow[n \to + \infty]{} - \infty\)

• Soit \((x_n)_{n\in I} \subseteq \mathbb{R}\):

  • On dit que \((x_n)\) est Bornée si:
    • \(\exists R_1, R_2 \in \mathbb{R} , \forall n \in I \quad R_1 \leq x_n \leq R_2\)
      • (équivalent à : ) \( \exists R > 0, \forall n \in I \quad |x_n| \geq R\)

Remarque: Une suite d'éléments positifs est minorée par 0; Une suite d'éléments négatifs est majorée par 0 Remarque: Une suite croissante est minorée par son 1e élément; Une suite décroissante est majorée par son 1e élément

Convergence

Une suite \((x_n)\) converge vers un réel a si

1. \(x_n\) est proche de a lorsque n devient grand
2. La distance entre \(x_n\) et a est de plus en plus petite (peut contenir l'élément vers lequel il converge (ex: \((0)_{n \in \mathbb{N}}\))
3. La distance entre \(x_n \text{ et } a\) peut être rendue aussi petite que je le veux.
   • Donc \(d(x_n, a) = |x_n - a| \leq \varepsilon, \varepsilon \in \mathbb{R}\)

• \( (x_n)\) Converge au sens large
  • si \( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{}\begin{cases} a \\ +\infty \\ -\infty\end{cases} \)

Convergence vers + ou - \(\infty\)

On dit qu'une suite converge vers \(\pm \infty\) si les éléments de la suite deviennent aussi grand qu'on veut dans ls positifs/négatifs pour autant que n soit suffisament grand

La notation reste inchangée, l'unicitée et l'exhaustivitée des limites sont d'applications

\((x_n)\) converge au sens large si \(\begin{align}x_n \xrightarrow[]{} & a ( a \in \mathbb{R} ) \\ &+\infty \\ &-\infty\end{align}\)

Unicitée de la limite

• Soient \((x_n) \subseteq \mathbb{R} \text{ et } a_1, a_2 \in \mathbb{R}\)
  • Si \((x_n)\) converge à la fois vers \(a_1 \text{ et vers } a_2 \text{ alors } a_1 = a_2\)

Régles de calculs

1. \((a)_{n \in \mathbb{N}} \xrightarrow[n \to \infty]{} a\)

2. • \((\frac{1}{n^p}) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 \text{ si } p > 0\)
   • \( n^p \xrightarrow[]{} +\infty \text{ si } p > 0\)
3. • \((a^n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 \text{ si } a \in ]-1,1[\)
   • \((a^n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1 \text{ si } a = 1\)
   • \((a^n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} + \infty \text{ si } a > 1\)
   • \((a^n) \text{ ne converge pas si } a \leq -1\)

• Soient \(a, b \in \mathbb{R}\) et \((x_n) , (y_n) \subseteq \mathbb{R}\) .
  • On suppose que \( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a \quad (y_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} b \)
    1. \(\lim\limits_{n \to \infty}x_n + y_n = a + b\)
    2. \(\lim\limits_{n \to \infty}x_n * y_n = a * b\)
    3. \(\lim\limits_{n \to \infty}\frac{x_n}{y_n} = \frac{a}{b} \text{ si } b \neq 0\)
  • On suppose que \( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} + \infty \quad (y_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} + \infty \)
    1. \(\lim\limits_{n \to \infty}x_n + y_n = + \infty\)
    2. \(\lim\limits_{n \to \infty}x_n * y_n = + \infty\)
  • On suppose que \( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} - \infty \quad (y_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} - \infty \)
    1. \(\lim\limits_{n \to \infty}x_n + y_n = - \infty\)
    2. \(\lim\limits_{n \to \infty}x_n * y_n = + \infty\)
  • On suppose que \( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} + \infty \quad (y_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a \)
    1. \(\lim\limits_{n \to \infty}x_n + y_n = + \infty\)
    2. Si \(a > 0 \quad \lim\limits_{n \to \infty}x_n * y_n = + \infty\)
  • On suppose que \( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} - \infty \quad (y_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a \)
    1. \(\lim\limits_{n \to \infty}x_n + y_n = - \infty\)
    2. Si \(a < 0 \quad \lim\limits_{n \to \infty}x_n * y_n = - \infty\)
  • On suppose que \( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} + \infty \quad (y_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} - \infty \)
    1. \(\lim\limits_{n \to \infty}x_n + y_n = \) Indéterminé¹
    2. \(\lim\limits_{n \to \infty}x_n * y_n = - \infty\)
  • On suppose que \( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} \pm \infty \quad (y_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 \)
    1. \(\lim\limits_{n \to \infty}x_n * y_n = \) Indéterminé¹
  • On suppose que \( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} + \infty \quad (y_n) \text{ est bornée inférieurement }\)
    1. \(\lim\limits_{n \to \infty}x_n + y_n = + \infty\)
  • On suppose que \( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} + \infty (y_n) \) converge au sens large et \(\lim y_n > 0\)
    1. \(\lim\limits_{n \to \infty}x_ny_n = + \infty\)
  • On suppose que \( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} + \infty (y_n) \) converge au sens large et \(\lim y_n < 0\)
    1. \(\lim\limits_{n \to \infty}x_ny_n = - \infty\)
  • On suppose que \( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} + \infty \text{ ou } (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} - \infty\)
    1. \(\lim\limits_{n \to \infty} 1/x_n = 0\)
  • On suppose que \( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 \text{ et } \exists n^* \in \mathbb{N}, \forall n \geq n^*, x_n > 0\)
    1. \(\lim\limits_{n \to \infty} 1/x_n = + \infty\)
  • On suppose que \( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 \text{ et } \exists n^* \in \mathbb{N}, \forall n \geq n^*, x_n < 0\)
    1. \(\lim\limits_{n \to \infty} 1/x_n = - \infty\)

Lever l'indétermination

Lorsqu'un résultat est un cas d'indétermination, ca ne veux pas dire qu'on ne peux pas prévoir ce qu'il va se passer...

On peut avoir:

• \(x_n + y_n \to + \infty\)
• \(x_n + y_n \to - \infty\)
• \(x_n + y_n \to a \in \mathbb{R}\)
• \(x_n + y_n \) ne converge pas

On étudie alors la vitesse de croissance de chaques suites et tirons une conclusion

Caractéristique de suites convergentes

• Soit \((x_n)_{n \in I} \subseteq \mathbb{R}\)
  • On dit que \((x_n)\) est Croissante si
    • \( \forall n \in I \quad x_n \leq x_{n+1}\)
  • On dit que \((x_n)\) est Décroissante si
    • \( \forall n \in I \quad x_n \geq x_{n+1}\)

Une Technique Pour trouver la croissance d'une suite:

• Tester si la suite est croissante ou décroissante.
  1. Si c'est vrai,
     • la suite est croissante ou décroissante
  2. Si c'est faux,
     • la suite est l'inverse de la préduction
  3. Si c'est vrai et faux (ex: \(n \leq 4\))
     • La croissance est variable donc ni croissante ni décroisante

Comparaison des suites

Théorem de la convergence dominée

Pour se faire nous avons besoin d'une intuition pour a

• Soient \((x_n), (y_n) \subseteq \mathbb{R}, a \in \mathbb{R} \)

  1. Si \((y_n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0\)
  2. Si \(\forall n, |x_n - a| \leq y_n\)
     • Alors \(x_n \xrightarrow[x \to +\infty]{} a\)

• Soient \((x_n), (y_n) \subseteq \mathbb{R} \)

  1. Si \((y_n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} \pm \infty\)
  2. Si \(\exists n^\ast \in \mathbb{N}, \forall n \geq n^\ast, x_n \geq y_n\)
     • Alors \(x_n \xrightarrow[x \to +\infty]{} \pm \infty\)

Théorem du Sandwich

• Soient \((x_n), (y_n), (z_n) \subseteq \mathbb{R}, a \in \mathbb{R} \)
  1. Si \((y_n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} a \text{ et } (z_n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} a\)
  2. Si \(\forall n, y_n \leq x_n \leq z_n\)
     • Alors \(x_n \xrightarrow[x \to +\infty]{} a\)

Les sous-suites

Pour construire une sous-suite, on pioche des éléments. mais:

1. On ne peut pas piocher 2x les mêmes éléments
2. On doit réspécter l'ordre d'apparition des éléments

• Soient \( (x_n)_{n \in I}\subseteq \mathbb{R}, (y_n)_{n \in J}\subseteq \mathbb{R}\)
  • \( (y_n)\) est une Sous-suite de \((x_n)\) Si:
    • Il existe une application \(\varphi : J \to I\) strictement croissante
    • \(\forall n \in J , y_n = x_{\varphi(n)}\)
  • Alors \((y_n) \subseteq (x_n)\)

Propositions: Rapport des sous-suites et des suites

• Soient \((x_n) \subseteq \mathbb{R}, (y_n) \subseteq \mathbb{R} \text{ et } a \in \mathbb{R}\)

  • Si \( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a \) et que \((y_n)\) est une sous-suite de \((x_n)\)
    • Alors \((y_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a\)

• Soient \((x_n), (y_n), (z_n) \subseteq \mathbb{R}, a \in \mathbb{R} \)

  • Si \((y_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a \text{ et } (z_n)\xrightarrow[n \to \infty]{} a\) deux sous-suites exhaustives de \((x_n)\)
    • Alors, \((x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a\)

L'exhaustivitée

• Soient \( (x_n)_{n \in I}, (y_n)_{n \in J_1}, (z_n)_{n \in J_2} \subseteq \mathbb{R}\)
  • On suppose que \( (y_n) \text{ et } (z_n)\) sont des sous-suites de \((x_n)\), càd \[ \exists \varphi_1 : J_1 \to I \text{ strictement croissante et } y_n = x_{\varphi_1 (n)} \\ \exists \varphi_2 : J_2 \to I \text{ strictement croissante et } z_n = x_{\varphi_2 (n)} \]
    • Alors, \( (y_n) et (z_n)\) sont des sous-suites Exhaustives de \((x_n) \text{ si } \varphi_1(J_1) \cup \varphi_2(J_2) = I\)

Méthode de résolution

Méthode du monome de plus haut degrés

On divise numérateur et dénominateur par le même \(n^i\) de plus haut degré Nous obtenons alors des limites plus faciles à gérer par rdc

Dans le cas où les termes sont du type \(a^n\) alors on applique la même méthode pour le |a| le plus grand

Notations

le terme générale d'une suite est noté \[ \Large{(x_n)_{n \in \mathbb{N}^{\geq k}} \subseteq \mathbb{R}} \]

Il n'est pas toujours possible de trouver une formule pour une suite (i.e.: suite de nombre premiers)

On peut aussi définir une suite par récurence. \[ (x_n) _{n \in \mathbb{N}} \quad \begin{cases} &x_0=3 \\ &\forall n \in\mathbb{N}\quad x _{n+1}= x_n + 4 \end{cases} \]

C'est une suite arithmétique de raison 4 (Pour passer à l'élément suivant on ajoute 4)

• Une suite arithmétique \((x_n)_{n\in \mathbb{N}}\) est définie par:
  • \(\begin{cases} x_0 \in \mathbb{R} \\ \forall n \in \mathbb{N} \quad x_{n + 1} = x_n + r \end{cases}\)
    • r est la raison

\[ \forall n \in \mathbb{N} \quad x_n = x_0 + n * r \]

• Une suite géométrique \((x_n)_{n\in \mathbb{N}}\) est définie par:
  • \(\begin{cases} x_0 \in \mathbb{R} \\ \forall n \in \mathbb{N} \quad x_{n + 1} = qx_n \end{cases}\)
    • q est la raison

\[ \forall n \in \mathbb{N} \quad x_n = x_0 * q^n \]

Convergence

Pour exprimer que \((x_n)\) converge vers a: \[ x_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} a \quad \text{ Ou } \quad \lim_{n \to +\infty}x_n = a \]

Partie entière

• La partie entière de \(x\) se nôte: \([x]\)

  • représente le plus grand entier inférieur à \(x\)
    • ex: \([-5.3] = -6\)

• L'entiers supérieur de \(y\) se nôte: \(\lceil y \rceil\)

  • représente le plus petit entier supérieur ou égal à \(y\)
    • ex: \(\lceil \pi \rceil = 4\)

Pourquoi préférons nous travailler avec des inégalités larges ?

• Parce que ca nous permet une plus grande souplesse lors des passage à la limite; Toutes les inéaglités deviennent large au passage à la limite.

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1. Dans le cas d'indétermination il faut Lever l'indétermination ↩︎