Fin chap 1

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@@ -37,10 +37,22 @@ Si ces conditions permettent une suite **infinie** On cherche la valeur ordonné
 On dit qu'une suite est **majorée** ou **bornée supérieurement** / **minorée** ou **bornée inférieurement** s'il existe
 \\[R \in \mathbb{R} \quad \forall n \in I, x\_n \leq R \text { / } x\_n \geq R\\] Ce \\(R\\) est appelé un **majorant** / un **minorant**
 
-- Soient \\((x_n) , (y_n) \subseteq \mathbb{R}\\) .
-    - On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} + \infty \quad (y_n) \text{ est bornée inférieurement }\\)
-        - \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n + y_n = + \infty\\)
-    - On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} + \infty \quad \exists n\\\)
+- Soit \\((x\_n)\_{n\in I} \subseteq \mathbb{R}\\), si soit:
+    - \\((x\_n)\\) est **Croissante** et **Majorée**,
+    - \\((x\_n)\\) est **Décroissante** et **Minorée**,
+        - Alors \\((x\_n)\\) **Converge au sens strict**
+    - \\((x\_n)\\) est **Croissante** et **Non Majorée**,
+        - Alors \\(x\_n \xrightarrow[n \to + \infty]{} + \infty\\) 
+    - \\((x\_n)\\) est **Décroissante** et **Non Minorée**,
+        - Alors \\(x\_n \xrightarrow[n \to + \infty]{} - \infty\\) 
+
+- Soit \\((x\_n)\_{n\in I} \subseteq \mathbb{R}\\), si soit:
+    - On dit que \\((x\_n)\\) est **Bornée** si:
+        - \\(\exists R\_1, R\_2 \in \mathbb{R} , \forall n \in I \quad R\_1 \leq x\_n \leq R\_2\\)
+            - (équivalent à : )  \\( \exists R > 0, \forall n \in I \quad |x\_n| \geq R\\)
+
+**Remarque:** Une suite d'éléments positifs est minorée par 0; Une suite d'éléments négatifs est majorée par 0
+**Remarque:** Une suite croissante est minorée par son 1e élément; Une suite décroissante est majorée par son 1e élément
 
 ## Convergence 
 
@@ -51,7 +63,7 @@ Une suite \\((x_n)\\) converge vers un réel a si
 3) La distance entre \\(x_n \text{ et } a\\) peut être rendue aussi petite que je le veux.
     - Donc \\(d(x_n, a) = |x_n - a| \leq \varepsilon, \varepsilon \in \mathbb{R}\\)
 
-- \\( (x\_n) **Converge au sens large** \\)
+- \\( (x\_n)\\) **Converge au sens large** 
     - si \\( (x\_n) \xrightarrow[n \to \infty]{}\begin{cases} a \\\\ +\infty \\\\ -\infty\end{cases} \\)
 
 ### Convergence vers + ou - \\(\infty\\)
@@ -103,6 +115,18 @@ La notation reste inchangée, l'unicitée et l'exhaustivitée des limites sont d
         2) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n * y_n = - \infty\\)
     - On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} \pm \infty \quad  (y_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 \\)
         1) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n * y_n = \\) Indéterminé[^indéterminé]
+    - On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} + \infty \quad (y_n) \text{ est bornée inférieurement }\\)
+        1) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n + y_n = + \infty\\)
+    - On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} + \infty (y\_n) \\) converge au sens large et \\(\lim y\_n > 0\\)
+        1) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_ny_n = + \infty\\)
+    - On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} + \infty (y\_n) \\) converge au sens large et \\(\lim y\_n < 0\\)
+        1) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_ny_n = - \infty\\)
+    - On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} + \infty \text{ ou } (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} - \infty\\)
+        1) \\(\lim\limits_{n \to \infty} 1/x\_n = 0\\)
+    - On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 \text{ et } \exists n^\* \in \mathbb{N}, \forall n \geq n^\*, x\_n > 0\\)
+        1) \\(\lim\limits_{n \to \infty} 1/x\_n = + \infty\\)
+    - On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 \text{ et } \exists n^\* \in \mathbb{N}, \forall n \geq n^\*, x\_n < 0\\)
+        1) \\(\lim\limits_{n \to \infty} 1/x\_n = - \infty\\)
 
 [^indéterminé]: Dans le cas d'indétermination il faut [Lever l'indétermination](./chap1.html#lever-lindétermination) 
 
@@ -118,6 +142,24 @@ On peut avoir:
 
 On étudie alors la vitesse de croissance de chaques suites et tirons une conclusion
 
+### Caractéristique de suites convergentes
+
+- Soit \\((x\_n)\_{n \in I} \subseteq \mathbb{R}\\)
+    - On dit que \\((x\_n)\\) est **Croissante** si
+        - \\( \forall n \in I \quad x\_n \leq x\_{n+1}\\)
+    - On dit que \\((x\_n)\\) est **Décroissante** si
+        - \\( \forall n \in I \quad x\_n \geq x\_{n+1}\\)
+
+Une **Technique** Pour trouver la croissance d'une suite:
+
+- Tester si la suite est croissante ou décroissante.
+    1) Si c'est vrai,
+        - la suite est croissante ou décroissante
+    2) Si c'est faux,
+        - la suite est l'inverse de la préduction 
+    3) Si c'est vrai et faux (ex: \\(n \leq 4\\))
+        - La croissance est variable donc ni croissante ni décroisante
+
 ## Comparaison des suites
 
 ### Théorem de la convergence dominée