From ebef0fa48fc3f77bf33e35726ce04518cf641c4c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Anthony Debucquoy Date: Mon, 19 Dec 2022 13:06:36 +0100 Subject: [PATCH] Fin chap 1 --- src/math/calculus/chap1.md | 52 ++++++++++++++++++++++++++++++++++---- 1 file changed, 47 insertions(+), 5 deletions(-) diff --git a/src/math/calculus/chap1.md b/src/math/calculus/chap1.md index 56f871b..70184db 100644 --- a/src/math/calculus/chap1.md +++ b/src/math/calculus/chap1.md @@ -37,10 +37,22 @@ Si ces conditions permettent une suite **infinie** On cherche la valeur ordonné On dit qu'une suite est **majorée** ou **bornée supérieurement** / **minorée** ou **bornée inférieurement** s'il existe \\[R \in \mathbb{R} \quad \forall n \in I, x\_n \leq R \text { / } x\_n \geq R\\] Ce \\(R\\) est appelé un **majorant** / un **minorant** -- Soient \\((x_n) , (y_n) \subseteq \mathbb{R}\\) . - - On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} + \infty \quad (y_n) \text{ est bornée inférieurement }\\) - - \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n + y_n = + \infty\\) - - On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} + \infty \quad \exists n\\\) +- Soit \\((x\_n)\_{n\in I} \subseteq \mathbb{R}\\), si soit: + - \\((x\_n)\\) est **Croissante** et **Majorée**, + - \\((x\_n)\\) est **Décroissante** et **Minorée**, + - Alors \\((x\_n)\\) **Converge au sens strict** + - \\((x\_n)\\) est **Croissante** et **Non Majorée**, + - Alors \\(x\_n \xrightarrow[n \to + \infty]{} + \infty\\) + - \\((x\_n)\\) est **Décroissante** et **Non Minorée**, + - Alors \\(x\_n \xrightarrow[n \to + \infty]{} - \infty\\) + +- Soit \\((x\_n)\_{n\in I} \subseteq \mathbb{R}\\), si soit: + - On dit que \\((x\_n)\\) est **Bornée** si: + - \\(\exists R\_1, R\_2 \in \mathbb{R} , \forall n \in I \quad R\_1 \leq x\_n \leq R\_2\\) + - (équivalent à : ) \\( \exists R > 0, \forall n \in I \quad |x\_n| \geq R\\) + +**Remarque:** Une suite d'éléments positifs est minorée par 0; Une suite d'éléments négatifs est majorée par 0 +**Remarque:** Une suite croissante est minorée par son 1e élément; Une suite décroissante est majorée par son 1e élément ## Convergence @@ -51,7 +63,7 @@ Une suite \\((x_n)\\) converge vers un réel a si 3) La distance entre \\(x_n \text{ et } a\\) peut être rendue aussi petite que je le veux. - Donc \\(d(x_n, a) = |x_n - a| \leq \varepsilon, \varepsilon \in \mathbb{R}\\) -- \\( (x\_n) **Converge au sens large** \\) +- \\( (x\_n)\\) **Converge au sens large** - si \\( (x\_n) \xrightarrow[n \to \infty]{}\begin{cases} a \\\\ +\infty \\\\ -\infty\end{cases} \\) ### Convergence vers + ou - \\(\infty\\) @@ -103,6 +115,18 @@ La notation reste inchangée, l'unicitée et l'exhaustivitée des limites sont d 2) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n * y_n = - \infty\\) - On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} \pm \infty \quad (y_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 \\) 1) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n * y_n = \\) Indéterminé[^indéterminé] + - On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} + \infty \quad (y_n) \text{ est bornée inférieurement }\\) + 1) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n + y_n = + \infty\\) + - On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} + \infty (y\_n) \\) converge au sens large et \\(\lim y\_n > 0\\) + 1) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_ny_n = + \infty\\) + - On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} + \infty (y\_n) \\) converge au sens large et \\(\lim y\_n < 0\\) + 1) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_ny_n = - \infty\\) + - On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} + \infty \text{ ou } (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} - \infty\\) + 1) \\(\lim\limits_{n \to \infty} 1/x\_n = 0\\) + - On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 \text{ et } \exists n^\* \in \mathbb{N}, \forall n \geq n^\*, x\_n > 0\\) + 1) \\(\lim\limits_{n \to \infty} 1/x\_n = + \infty\\) + - On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 \text{ et } \exists n^\* \in \mathbb{N}, \forall n \geq n^\*, x\_n < 0\\) + 1) \\(\lim\limits_{n \to \infty} 1/x\_n = - \infty\\) [^indéterminé]: Dans le cas d'indétermination il faut [Lever l'indétermination](./chap1.html#lever-lindétermination) @@ -118,6 +142,24 @@ On peut avoir: On étudie alors la vitesse de croissance de chaques suites et tirons une conclusion +### Caractéristique de suites convergentes + +- Soit \\((x\_n)\_{n \in I} \subseteq \mathbb{R}\\) + - On dit que \\((x\_n)\\) est **Croissante** si + - \\( \forall n \in I \quad x\_n \leq x\_{n+1}\\) + - On dit que \\((x\_n)\\) est **Décroissante** si + - \\( \forall n \in I \quad x\_n \geq x\_{n+1}\\) + +Une **Technique** Pour trouver la croissance d'une suite: + +- Tester si la suite est croissante ou décroissante. + 1) Si c'est vrai, + - la suite est croissante ou décroissante + 2) Si c'est faux, + - la suite est l'inverse de la préduction + 3) Si c'est vrai et faux (ex: \\(n \leq 4\\)) + - La croissance est variable donc ni croissante ni décroisante + ## Comparaison des suites ### Théorem de la convergence dominée