Relations

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Debucquoy Anthony 2023-03-24 13:04:27 +01:00
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@ -51,4 +51,32 @@ La relation inverse retourne toute les fleches d'un graphe; Les relations sont i
On a prouvé que \\( R = R^{-1} \implies R \text{ est symétrique } \\) On a prouvé que \\( R = R^{-1} \implies R \text{ est symétrique } \\)
## Composition de relations
- Soient \\( R_1 \subseteq A \times B \quad R_2 \subseteq B \times C \\)
- \\( R_2 \circ R_1 = \\{ (a,b) \in A \times C \mid \exists b \in B \quad (a,b) \in R_1 \land (b,c) \in R_2 \\}\\)
Dans ce cas nous devons faire attention à l'ensemble de départ et d'arrivée
- Soit \\( R \subseteq A \times A \\)
- \\( R^2 = R \circ R \quad R^n = R \circ ... \circ R \\)
- R est Transitive ssi \\( R^2 \subseteq R \iff \forall n \in \mathbb{N}_ 0 R^n \subset R \\)
Nous pouvons alors utiliser les matrice et faire un produit matriciel.
On place 1 dans la matrice lorsque les éléments n et m sont en relation et 0 lorsqu'ils ne sont pas en relation
- + équivaut à un ou
- * équiavaut à un et
Ces matrices peuvent nous aider à comprendre mieux ce qu'il se passe
> On a un chemin qui va de 1 à 2 **et** de 2 à 3
> Oui: Donc (1,3) est dans \\( R^2 \\)
## Les relations d'équivalences
- Soit \\( R \subseteq A \times A \\)
- \\( R \\) est une **Relation d'équivalence** ssi
- R est **Réfléxive**, **Symétrique** et **Transitive**
- Soit \\( R \subseteq A \times A \\) une relation d'équivalence
- Soit \\( a \in A \\)
- La **Classe d'éaquivalence** de A (Pour R), notée \\( [a]_ R \\)
- \\( [a]_ R = \\{ b \in A \mid a R b \\} \\)