From 95e7f555561f564f95bbc775509d9b0aa2a5930a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Anthony Debucquoy Date: Fri, 24 Mar 2023 13:04:27 +0100 Subject: [PATCH] Relations --- src/math/disc/relations.md | 28 ++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 28 insertions(+) diff --git a/src/math/disc/relations.md b/src/math/disc/relations.md index 09122d4..8102646 100644 --- a/src/math/disc/relations.md +++ b/src/math/disc/relations.md @@ -51,4 +51,32 @@ La relation inverse retourne toute les fleches d'un graphe; Les relations sont i On a prouvé que \\( R = R^{-1} \implies R \text{ est symétrique } \\) +## Composition de relations +- Soient \\( R_1 \subseteq A \times B \quad R_2 \subseteq B \times C \\) + - \\( R_2 \circ R_1 = \\{ (a,b) \in A \times C \mid \exists b \in B \quad (a,b) \in R_1 \land (b,c) \in R_2 \\}\\) + +Dans ce cas nous devons faire attention à l'ensemble de départ et d'arrivée + +- Soit \\( R \subseteq A \times A \\) + - \\( R^2 = R \circ R \quad R^n = R \circ ... \circ R \\) + - R est Transitive ssi \\( R^2 \subseteq R \iff \forall n \in \mathbb{N}_ 0 R^n \subset R \\) + +Nous pouvons alors utiliser les matrice et faire un produit matriciel. +On place 1 dans la matrice lorsque les éléments n et m sont en relation et 0 lorsqu'ils ne sont pas en relation +- + équivaut à un ou +- * équiavaut à un et +Ces matrices peuvent nous aider à comprendre mieux ce qu'il se passe +> On a un chemin qui va de 1 à 2 **et** de 2 à 3 +> Oui: Donc (1,3) est dans \\( R^2 \\) + +## Les relations d'équivalences + +- Soit \\( R \subseteq A \times A \\) + - \\( R \\) est une **Relation d'équivalence** ssi + - R est **Réfléxive**, **Symétrique** et **Transitive** + +- Soit \\( R \subseteq A \times A \\) une relation d'équivalence + - Soit \\( a \in A \\) + - La **Classe d'éaquivalence** de A (Pour R), notée \\( [a]_ R \\) + - \\( [a]_ R = \\{ b \in A \mid a R b \\} \\)