Relations

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@@ -51,4 +51,32 @@ La relation inverse retourne toute les fleches d'un graphe; Les relations sont i
 
 On a prouvé que \\( R = R^{-1} \implies R \text{ est symétrique }  \\) 
 
+## Composition de relations
 
+- Soient \\( R_1 \subseteq A \times B \quad R_2 \subseteq B \times C \\) 
+    - \\( R_2 \circ R_1 = \\{ (a,b) \in A \times C \mid \exists b \in B \quad  (a,b) \in R_1 \land (b,c) \in R_2 \\}\\) 
+
+Dans ce cas nous devons faire attention à l'ensemble de départ et d'arrivée
+
+- Soit \\( R \subseteq A \times A \\) 
+    - \\( R^2 = R \circ R \quad R^n = R \circ ... \circ R \\) 
+        - R est Transitive ssi \\( R^2 \subseteq R \iff \forall n \in \mathbb{N}_ 0 R^n \subset R  \\) 
+
+Nous pouvons alors utiliser les matrice et faire un produit matriciel.
+On place 1 dans la matrice lorsque les éléments n et m sont en relation et 0 lorsqu'ils ne sont pas en relation
+- + équivaut à un ou
+- * équiavaut à un et
+Ces matrices peuvent nous aider à comprendre mieux ce qu'il se passe
+> On a un chemin qui va de 1 à 2 **et** de 2 à 3
+> Oui: Donc (1,3) est dans \\( R^2 \\) 
+
+## Les relations d'équivalences
+
+- Soit \\( R \subseteq A \times A \\) 
+    - \\( R \\) est une **Relation d'équivalence** ssi
+         - R est **Réfléxive**, **Symétrique** et **Transitive**
+
+- Soit \\( R \subseteq A \times A \\) une relation d'équivalence
+    - Soit \\( a \in A \\) 
+        - La **Classe d'éaquivalence** de A (Pour R), notée \\( [a]_ R \\) 
+            - \\( [a]_ R = \\{ b \in A \mid a R b \\} \\)