some things + relations type + inverted relation

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Debucquoy Anthony 2023-03-06 20:12:08 +01:00
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@ -122,3 +122,54 @@ dont les éléments sont rangés selon m lignes et n colonnes
- \\( L_i \gets \alpha L_i \quad \alpha \in \mathbb{R} \\) - \\( L_i \gets \alpha L_i \quad \alpha \in \mathbb{R} \\)
- \\( L_i \gets L_i + L_j \\) - \\( L_i \gets L_i + L_j \\)
3) Revenir au système et trouver S 3) Revenir au système et trouver S
### Via le calcul de déterminants
Un déterminant est un réel calculé sur une matrice carrée
#### La méthode de Sarros
Cette méthode ne fonctionne que pour les matrices 2x2 et 3x3
##### 2x2
- Soit \\( A \in \mathbb{R}^{2 * 2} \\)
\\[
\det A =
\begin{vmatrix}
a_{11} &a_{12} \\\\
a_{21} &a_{22}
\end{vmatrix}
= (a_{11} * a_{22}) - (a_{12} * a_{21})
\\]
##### 3x3
- Soit \\( B \in \mathbb{R}^{3 * 3} \\)
\\[
\det B =
\begin{vmatrix}
b_{11} &b_{12} &b_{13} \\\\
b_{21} &b_{22} &b_{23} \\\\
b_{31} &b_{32} &b_{33} \\\\
\end{vmatrix}
= (b_{11} * b_{22} * b_{33}) + (b_{12} * b_{23} * b_{31}) + (b_{13} * b_{21} * b_{32}) - (b_{13} * b_{22} * b_{31}) - (b_{12} * b_{21} * b_{33}) - (b_{11} * b_{23} * b_{32})
\\]
### La méthode des cofacteurs
Utilisé pour les matrices + grandes ou égales à 3x3
- **Un Mineur** de l'élément \\( a_{ij} \\) est le déterminant de la matrice \\( Aij \\)
- C'est à dire la matrice \\( A \\) où on a supprimé la ligne i et la conlonne j
- On la note \\( M_{ij} \\)
- Le **Cofacteur** de la position ij est le nombre \\( (-1)^{i+j} * M_{ij} \\)
- On le note \\( C_{ij} \\)
On choisit ensuite une ligne a déveloper, au plus il y a de zeros au mieux c'est
- Soit \\( A \in \mathbb{R}^{n * n} \\)
- Si on développe la ie Ligne
- \\( \forall 1 \leq i \leq n \quad \det A = \displaystyle\sum_{j=n}^n a_{ij} * C_{ij} \\)

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@ -1,32 +0,0 @@
# Mathématique modulaire
- Soient \\(a, b \in \mathbb{Z}\\) avec \\(a \neq 0\\)
- On dit que \\( a \\) **divise** \\( b \\) noté \\( a | b \\)
- ssi \\( \exists c \in \mathbb{Z} b=ac \\)
- On dit également que b est un multiple de a
## Algorithme de division d'euclide
- Soient \\( a \in \mathbb{Z} \text{ et } d\in \mathbb{N} _ 0 \\)
- \\( \exists q, r \in \mathbb{Z} \quad 0 \leq r < d \quad a = dq + r\\)
\mathbb{R}
- Soient \\( a, b \in \mathbb{Z} \quad n \in \mathbb{N} _ 0 \\)
- On dit que \\( a \\) est **congru** à \\( b \\) modulo n
- ssi \\( n \vert (a - b) \\)
- On note \\( a \equiv_n b \\)
## La Cryptographie
Lorsqu'un cannal de communication n'est pas sur, il faut crypter les messages.
Le message passe par une fonction pour crypter et une autre fonction pour décrypter. c'est un chiffrement asymetrique
On se base sur les mathématiques modulaires pour crypter
### Les nombres premiers
- Soit \\( p \in \mathbb{N} \\) On dit que \\( P \\) est un **Nombre Premier**
- ssi il posséde exactement 2 diviseurs
- Ces diviseurs sont \\( 1 \text{ et } P \\)
Nous avons vu un algorithme nous permettant de voir si un nombre est premier TODO

89
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@ -0,0 +1,89 @@
# Les Nombres Premiers
- Soient \\(a, b \in \mathbb{Z}\\) avec \\(a \neq 0\\)
- On dit que \\( a \\) **divise** \\( b \\) noté \\( a | b \\)
- ssi \\( \exists c \in \mathbb{Z} b=ac \\)
- On dit également que b est un multiple de a
## Propositions de division
- \\( \forall a, b, c, d \in \mathbb{Z}_ 0 \\)
a) \\( 1|a \\)
b) \\( a|0 \\)
c) \\( a|a \\)
d) \\( a|b \implies (\forall c \in \mathbb{Z}_ 0 \quad a|(b * c))\\)
e) \\( (a|b \land b|c) \implies a|c\\)
f) \\( (a|b \land a|c) \implies a | (b+c)\\)
g) \\( (a|b \land a|c) \implies a | (b-c)\\)
h) \\( (a|b \lor a|c) \implies a | (b * c)\\)
h) \\( (a|b \land c|d) \implies (a * c) | (b * d)\\)
## Algorithme de division d'euclide
- Soient \\( a \in \mathbb{Z} \text{ et } d\in \mathbb{N} _ 0 \\)
- \\( \exists q, r \in \mathbb{Z} \quad 0 \leq r < d \quad a = dq + r\\)
\mathbb{R}
- Soient \\( a, b \in \mathbb{Z} \quad n \in \mathbb{N} _ 0 \\)
- On dit que \\( a \\) est **congru** à \\( b \\) modulo n
- ssi \\( n \vert (a - b) \\)
- On note \\( a \equiv_n b \\)
## PGCD & PPCM
- **PGCD** : Plus grand commun diviseur
- **PPCM** : Plus petit commun multiple
On peut calculer le pgcd de deux nombre avec
\\[
PGCD(a,b) = PGCD(b, a \bmod b)
\\]
On remarque que
\\[
a * b = PGCD(a,b) * PPCM(a, b)
\\]
Donc si on fait la décomposition en facteur premier d'un nombre, on peut trouver le pgcd et le ppcm comme suit:
\\[
a = p_1* ...* p_n * q_1* ...* q_n \\\\
b = p_1* ...* p_n * \tilde{q}_ 1* ...* \tilde{q}_ n
\\]
\\[
PGCD(a,b) = p_1 * ... * p_n \\\\
PPCM(a,b) = p_1 * ... * p_n * q_1 * ... * q_n * \tilde{q}_ 1* ...* \tilde{q}_ n
\\]
## La Cryptographie
Lorsqu'un cannal de communication n'est pas sur, il faut crypter les messages.
Le message passe par une fonction pour crypter et une autre fonction pour décrypter. c'est un chiffrement asymetrique
On se base sur les mathématiques modulaires pour crypter
### Les nombres premiers
- Soit \\( p \in \mathbb{N} \\) On dit que \\( P \\) est un **Nombre Premier**
- ssi il posséde exactement 2 diviseurs
- Ces diviseurs sont \\( 1 \text{ et } P \\)
Un example d'algorithme naïf pour détecter un nombre premier est:
\\[ \forall n \in \mathbb{N} 2 \leq P \leq \sqrt{101} \implies n | 101 \\]
On testerais ici par example \\( P | 101 \quad \forall P=2,3,5,7 \\) qui sont les racines < que 101
#### Une infinitée de nombre premiers
Nous pouvons prouver qu'il y a une infinitée de nombres premiers.
Pour se faire nous fesons une preuve par l'absurde : Il y a un nombre **fini** de nombres premiers.
mais si on prend \\( \displaystyle (\prod_1^n p_n)+1 \\) soit ce nombre est premier, soit il ne l'est pas.
Dans le cas où il ne le serait pas, alors on peut le décomposer en nombres premiers. sauf que cette formule indique qu'aucuns nombre premiers précédent celui-ci n'est dans la liste des nombres premiers
On aura donc une contradiction
En Cryptographie, l'infinitee de ces nombre premiers et la difficultée de trouver les facteurs premiers d'un grand nombre en fait un bon candidat pour des clés asymétriques
On peut utiliser également un [Algorithme d'exponensiation rapide](https://courses.cs.washington.edu/courses/cse311/21sp/resources/reference-modular-exponentiation.pdf)

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@ -0,0 +1,54 @@
# Les Relations
- Soient \\( A, B \\) deux ensembles
- Le **Produit cartésien** noté \\( A \times B \\) est l'ensemble
- \\( A \times B = \\{ (a,b) | a \in A \land b \in B\\} \\)
- Donc \\( A \times B \neq B \times A \\)
- Une **Relation Binaire** noté \\( R \\) est un sous-ensemble de
- \\( A \times B \quad (R \subseteq A \times B)\\)
- Soient \\( a \in A \quad b \in B \\)
- On dit que a est en **Relation Binaire** ssi \\( (a,b) \in R \\)
- noté \\( aRb \\)
- Quand \\( A = B \quad R \subseteq A \times A \\) on parle de relation sur \\( A \\)
Par exemple:
1) \\( A = B = \mathbb{R} \quad R = \mathbb{R}^2 \subseteq \mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R} \\)
2) \\( A = \\{2, 3 ,4\\} \quad B = \\{4, 6, 8\\} \quad R = \\{(a,b) \in A \times B | b = 2a\\} \\)
3) \\( A = B = \\{ \text{ membre d'une famille } \\} \quad R = \\{ (a,b) | a \text{ est le père de } B \\} \\)
4) \\( A = B = \mathbb{R} \quad R_{\leq} = \\{ (a,b) \in \mathbb{R}^2 | a \leq b \\} \\)
## Représentation des relations (finies)
Par exemple, pour:
\\[
A = B = \\{ 1, 2, 3 \\} \quad R_{<} = \\{ (a,b) | a < b \\}
\\]
1) Représentation Cartésienne
2) Représentation Patate
3) Représentation Matricielle
## Types de relations
- Soit \\( R \subseteq A \times A \\), On dit uqe R est
- **Réfléxive** ssi \\( \forall a \in A \quad aRa \\)
- Que tout les éléments sont en relation avec eux même
- **transitive** ssi \\( \forall a, b, c \in A \quad (aRb \land bRc) \implies aRc \\)
- Une forme de relation d'héritage.(eg: Si a est un ancetre de b et b est un ancetre de c alors a est un ancetre de c)
- **Symétrique** ssi \\( \forall a,b \in A \quad aRb \implies bRa \\)
- Toutes les relations sont toujours à double sens
- **Anti-Symétrique** ssi \\( \forall a, b \in A \quad (aRb \land bRa) \implies a=b \\)
- symètrique mais sans double flèches, seulement des flèches vers lui même
**Attention**, anti-symétrique n'est pas la négation de symétrique
## Relation inverse
- Soit \\( R \subseteq A \times B \\)
- La **Relation Inverse** notée \\( R^{-1} = \\{ (b, a) \in B \times A | aRb) \\} \\)
La relation inverse retourne toute les fleches d'un graphe; Les relations sont inversées
On a prouvé que \\( R = R^{-1} \implies R \text{ est symétrique } \\)