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This commit is contained in:
Debucquoy
commit
77ae469bfe
@ -32,7 +32,191 @@ Si ces conditions permettent une suite **infinie** On cherche la valeur ordonné
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- Une **suite** est une fonction tel que
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- \\(I \to \mathbb{R}: n \mapsto x_n \text{ où } I = \mathbb{N}^{\geq k} \text{ où } k\in \mathbb{N}\\)
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## Notation
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### Borne ou majoration
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On dit qu'une suite est **majorée** ou **bornée supérieurement** / **minorée** ou **bornée inférieurement** s'il existe
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\\[R \in \mathbb{R} \quad \forall n \in I, x\_n \leq R \text { / } x\_n \geq R\\] Ce \\(R\\) est appelé un **majorant** / un **minorant**
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- Soit \\((x\_n)\_{n\in I} \subseteq \mathbb{R}\\), si soit:
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- \\((x\_n)\\) est **Croissante** et **Majorée**,
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- \\((x\_n)\\) est **Décroissante** et **Minorée**,
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- Alors \\((x\_n)\\) **Converge au sens strict**
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- \\((x\_n)\\) est **Croissante** et **Non Majorée**,
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- Alors \\(x\_n \xrightarrow[n \to + \infty]{} + \infty\\)
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- \\((x\_n)\\) est **Décroissante** et **Non Minorée**,
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- Alors \\(x\_n \xrightarrow[n \to + \infty]{} - \infty\\)
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- Soit \\((x\_n)\_{n\in I} \subseteq \mathbb{R}\\), si soit:
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- On dit que \\((x\_n)\\) est **Bornée** si:
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- \\(\exists R\_1, R\_2 \in \mathbb{R} , \forall n \in I \quad R\_1 \leq x\_n \leq R\_2\\)
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- (équivalent à : ) \\( \exists R > 0, \forall n \in I \quad |x\_n| \geq R\\)
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**Remarque:** Une suite d'éléments positifs est minorée par 0; Une suite d'éléments négatifs est majorée par 0
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**Remarque:** Une suite croissante est minorée par son 1e élément; Une suite décroissante est majorée par son 1e élément
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## Convergence
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Une suite \\((x_n)\\) converge vers un réel a si
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1) \\(x_n\\) est proche de a lorsque n devient grand
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2) La distance entre \\(x_n\\) et a est de plus en plus petite (peut contenir l'élément vers lequel il converge (ex: \\((0)_{n \in \mathbb{N}}\\))
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3) La distance entre \\(x_n \text{ et } a\\) peut être rendue aussi petite que je le veux.
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- Donc \\(d(x_n, a) = |x_n - a| \leq \varepsilon, \varepsilon \in \mathbb{R}\\)
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- \\( (x\_n)\\) **Converge au sens large**
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- si \\( (x\_n) \xrightarrow[n \to \infty]{}\begin{cases} a \\\\ +\infty \\\\ -\infty\end{cases} \\)
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### Convergence vers + ou - \\(\infty\\)
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On dit qu'une suite converge vers \\(\pm \infty\\) si les éléments de la suite deviennent aussi grand qu'on veut dans ls positifs/négatifs
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pour autant que n soit suffisament grand
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La notation reste inchangée, l'unicitée et l'exhaustivitée des limites sont d'applications
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\\((x_n)\\) **converge au sens large** si \\(\begin{align}x\_n \xrightarrow[]{} & a ( a \in \mathbb{R} ) \\\\ &+\infty \\\\ &-\infty\end{align}\\)
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### Unicitée de la limite
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- Soient \\((x_n) \subseteq \mathbb{R} \text{ et } a_1, a_2 \in \mathbb{R}\\)
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- Si \\((x_n)\\) converge à la fois vers \\(a_1 \text{ et vers } a_2 \text{ alors } a_1 = a_2\\)
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### Régles de calculs
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1) \\((a)\_{n \in \mathbb{N}} \xrightarrow[n \to \infty]{} a\\)
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2) - \\((\frac{1}{n^p}) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 \text{ si } p > 0\\)
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- \\( n^p \xrightarrow[]{} +\infty \text{ si } p > 0\\)
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3) - \\((a^n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 \text{ si } a \in ]-1,1[\\)
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- \\((a^n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1 \text{ si } a = 1\\)
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- \\((a^n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} + \infty \text{ si } a > 1\\)
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- \\((a^n) \text{ ne converge pas si } a \leq -1\\)
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- Soient \\(a, b \in \mathbb{R}\\) et \\((x_n) , (y_n) \subseteq \mathbb{R}\\) .
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- On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a \quad (y_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} b \\)
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1) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n + y_n = a + b\\)
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2) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n * y_n = a * b\\)
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3) \\(\lim\limits_{n \to \infty}\frac{x_n}{y_n} = \frac{a}{b} \text{ si } b \neq 0\\)
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- On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} + \infty \quad (y_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} + \infty \\)
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1) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n + y_n = + \infty\\)
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2) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n * y_n = + \infty\\)
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- On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} - \infty \quad (y_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} - \infty \\)
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1) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n + y_n = - \infty\\)
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2) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n * y_n = + \infty\\)
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- On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} + \infty \quad (y_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a \\)
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1) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n + y_n = + \infty\\)
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2) Si \\(a > 0 \quad \lim\limits_{n \to \infty}x_n * y_n = + \infty\\)
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- On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} - \infty \quad (y_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a \\)
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1) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n + y_n = - \infty\\)
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2) Si \\(a < 0 \quad \lim\limits_{n \to \infty}x_n * y_n = - \infty\\)
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- On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} + \infty \quad (y_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} - \infty \\)
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1) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n + y_n = \\) Indéterminé[^indéterminé]
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2) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n * y_n = - \infty\\)
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- On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} \pm \infty \quad (y_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 \\)
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1) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n * y_n = \\) Indéterminé[^indéterminé]
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- On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} + \infty \quad (y_n) \text{ est bornée inférieurement }\\)
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1) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n + y_n = + \infty\\)
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- On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} + \infty (y\_n) \\) converge au sens large et \\(\lim y\_n > 0\\)
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1) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_ny_n = + \infty\\)
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- On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} + \infty (y\_n) \\) converge au sens large et \\(\lim y\_n < 0\\)
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1) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_ny_n = - \infty\\)
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- On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} + \infty \text{ ou } (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} - \infty\\)
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1) \\(\lim\limits_{n \to \infty} 1/x\_n = 0\\)
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- On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 \text{ et } \exists n^\* \in \mathbb{N}, \forall n \geq n^\*, x\_n > 0\\)
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1) \\(\lim\limits_{n \to \infty} 1/x\_n = + \infty\\)
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- On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 \text{ et } \exists n^\* \in \mathbb{N}, \forall n \geq n^\*, x\_n < 0\\)
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1) \\(\lim\limits_{n \to \infty} 1/x\_n = - \infty\\)
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[^indéterminé]: Dans le cas d'indétermination il faut [Lever l'indétermination](./chap1.html#lever-lindétermination)
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#### Lever l'indétermination
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Lorsqu'un résultat est un cas d'indétermination, ca ne veux pas dire qu'on ne peux pas prévoir ce qu'il va se passer...
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On peut avoir:
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- \\(x\_n + y\_n \to + \infty\\)
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- \\(x\_n + y\_n \to - \infty\\)
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- \\(x\_n + y\_n \to a \in \mathbb{R}\\)
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- \\(x\_n + y\_n \\) ne converge pas
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On étudie alors la vitesse de croissance de chaques suites et tirons une conclusion
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### Caractéristique de suites convergentes
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- Soit \\((x\_n)\_{n \in I} \subseteq \mathbb{R}\\)
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- On dit que \\((x\_n)\\) est **Croissante** si
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- \\( \forall n \in I \quad x\_n \leq x\_{n+1}\\)
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- On dit que \\((x\_n)\\) est **Décroissante** si
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- \\( \forall n \in I \quad x\_n \geq x\_{n+1}\\)
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Une **Technique** Pour trouver la croissance d'une suite:
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- Tester si la suite est croissante ou décroissante.
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1) Si c'est vrai,
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- la suite est croissante ou décroissante
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2) Si c'est faux,
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- la suite est l'inverse de la préduction
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3) Si c'est vrai et faux (ex: \\(n \leq 4\\))
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- La croissance est variable donc ni croissante ni décroisante
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## Comparaison des suites
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### Théorem de la convergence dominée
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Pour se faire nous avons besoin d'une intuition pour a
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- Soient \\((x_n), (y_n) \subseteq \mathbb{R}, a \in \mathbb{R} \\)
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1) Si \\((y_n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0\\)
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2) Si \\(\forall n, |x_n - a| \leq y_n\\)
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- Alors \\(x_n \xrightarrow[x \to +\infty]{} a\\)
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- Soient \\((x_n), (y_n) \subseteq \mathbb{R} \\)
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1) Si \\((y_n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} \pm \infty\\)
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2) Si \\(\exists n^\ast \in \mathbb{N}, \forall n \geq n^\ast, x\_n \geq y\_n\\)
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- Alors \\(x_n \xrightarrow[x \to +\infty]{} \pm \infty\\)
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### Théorem du Sandwich
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- Soient \\((x_n), (y_n), (z_n) \subseteq \mathbb{R}, a \in \mathbb{R} \\)
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1) Si \\((y_n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} a \text{ et } (z_n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} a\\)
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2) Si \\(\forall n, y_n \leq x_n \leq z_n\\)
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- Alors \\(x_n \xrightarrow[x \to +\infty]{} a\\)
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## Les sous-suites
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Pour construire une sous-suite, on pioche des éléments. mais:
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1) On ne peut pas piocher 2x les mêmes éléments
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2) On doit réspécter l'ordre d'apparition des éléments
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- Soient \\( (x_n)\_{n \in I}\subseteq \mathbb{R}, (y_n)\_{n \in J}\subseteq \mathbb{R}\\)
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- \\( (y_n)\\) est une **Sous-suite** de \\((x_n)\\) Si:
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||||
- Il existe une [application](../logique/fonctions.md) \\(\varphi : J \to I\\) strictement croissante
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- \\(\forall n \in J , y_n = x\_{\varphi(n)}\\)
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- Alors \\((y\_n) \subseteq (x\_n)\\)
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### Propositions: Rapport des sous-suites et des suites
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- Soient \\((x\_n) \subseteq \mathbb{R}, (y\_n) \subseteq \mathbb{R} \text{ et } a \in \mathbb{R}\\)
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- Si \\( (x\_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a \\) et que \\((y\_n)\\) est une sous-suite de \\((x\_n)\\)
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- Alors \\((y\_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a\\)
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- Soient \\((x_n), (y_n), (z_n) \subseteq \mathbb{R}, a \in \mathbb{R} \\)
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- Si \\((y\_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a \text{ et } (z\_n)\xrightarrow[n \to \infty]{} a\\) deux sous-suites exhaustives de \\((x\_n)\\)
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- Alors, \\((x\_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a\\)
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### L'exhaustivitée
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- Soient \\( (x\_n)\_{n \in I}, (y\_n)\_{n \in J\_1}, (z\_n)\_{n \in J\_2} \subseteq \mathbb{R}\\)
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- On suppose que \\( (y\_n) \text{ et } (z\_n)\\) sont des sous-suites de \\((x\_n)\\), càd
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\\[
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\exists \varphi\_1 : J\_1 \to I \text{ strictement croissante et } y\_n = x\_{\varphi\_1 (n)} \\\\
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\exists \varphi\_2 : J\_2 \to I \text{ strictement croissante et } z\_n = x\_{\varphi\_2 (n)}
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\\]
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- Alors, \\( (y\_n) et (z\_n)\\) sont des sous-suites **Exhaustives** de \\((x\_n) \text{ si } \varphi\_1(J\_1) \cup \varphi\_2(J\_2) = I\\)
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## Notations
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le terme générale d'une suite est noté
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\\[
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@ -60,26 +244,6 @@ C'est une suite arithmétique de raison 4 (Pour passer à l'élément suivant on
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\\[ \forall n \in \mathbb{N} \quad x_n = x_0 * q^n \\]
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## Convergence
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Une suite \\((x_n)\\) converge vers un réel a si
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1) \\(x_n\\) est proche de a lorsque n devient grand
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2) La distance entre \\(x_n\\) et a est de plus en plus petite (peut contenir l'élément vers lequel il converge (ex: \\((0)_{n \in \mathbb{N}}\\))
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3) La distance entre \\(x_n \text{ et } a\\) peut être rendue aussi petite que je le veux.
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- Donc \\(d(x_n, a) = |x_n - a| \leq \varepsilon, \varepsilon \in \mathbb{R}\\)
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- \\( (x\_n) **Converge au sens large** \\)
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- si \\( (x\_n) \xrightarrow[n \to \infty]{}\begin{cases} a \\\\ +\infty \\\\ -\infty\end{cases} \\)
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## Unicitée de la limite
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- Soient \\((x_n) \subseteq \mathbb{R} \text{ et } a_1, a_2 \in \mathbb{R}\\)
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- Si \\((x_n)\\) converge à la fois vers \\(a_1 \text{ et vers } a_2 \text{ alors } a_1 = a_2\\)
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### Notation
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### Convergence
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Pour exprimer que \\((x_n)\\) converge vers a:
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@ -97,80 +261,7 @@ Pour exprimer que \\((x_n)\\) converge vers a:
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- représente le plus petit entier supérieur ou égal à \\(y\\)
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- ex: \\(\lceil \pi \rceil = 4\\)
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### Regles de calculs
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1) \\((a)\_{n \in \mathbb{N}} \xrightarrow[n \to \infty]{} a\\)
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2) \\((\frac{1}{n^P}) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 \text{ si } P > 0\\)
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3) \\((a^n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 \text{ si } a \in ]-1,1[\\)
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- Soient \\(a, b \in \mathbb{R}\\) et \\((x_n) , (y_n) \subseteq \mathbb{R}\\) .
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||||
- On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a \\)
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||||
- On suppose que \\( (y_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} b \\)
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1) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n + y_n = a + b\\)
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2) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n * y_n = a * b\\)
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3) \\(\lim\limits_{n \to \infty}\frac{x_n}{y_n} = \frac{a}{b} \text{ si } b \neq 0\\)
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## Comparaison des suites
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### Théorem de la convergence dominée
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Pour se faire nous avons besoin d'une intuition pour a
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- Soient \\((x_n), (y_n) \subseteq \mathbb{R}, a \in \mathbb{R} \\)
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1) Si \\((y_n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0\\)
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2) Si \\(\forall n, |x_n - a| \leq y_n\\)
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- Alors \\(x_n \xrightarrow[x \to +\infty]{} a\\)
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### Théorem du Sandwich
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- Soient \\((x_n), (y_n), (z_n) \subseteq \mathbb{R}, a \in \mathbb{R} \\)
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1) Si \\((y_n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} a \text{ et } (z_n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} a\\)
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||||
2) Si \\(\forall n, y_n \leq x_n \leq z_n\\)
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||||
- Alors \\(x_n \xrightarrow[x \to +\infty]{} a\\)
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## Les sous-suites
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Pour construire une sous-suite, on pioche des éléments. mais:
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1) On ne peut pas piocher 2x les mêmes éléments
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2) On doit réspécter l'ordre d'apparition des éléments
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- Soient \\( (x_n)\_{n \in I}\subseteq \mathbb{R}, (y_n)\_{n \in J}\subseteq \mathbb{R}\\)
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- \\( (y_n)\\) est une **Sous-suite** de \\((x_n)\\) Si:
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- Il existe une [application](../logique/fonctions.md) \\(\varphi : J \to I\\) strictement croissante
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- \\(\forall n \in J , y_n = x\_{\varphi(n)}\\)
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- Alors \\((y\_n) \subseteq (x\_n)\\)
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### Proposition
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- Soient \\((x\_n) \subseteq \mathbb{R}, (y\_n) \subseteq \mathbb{R} \text{ et } a \in \mathbb{R}\\)
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- Si \\( (x\_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a \\) et que \\((y\_n)\\) est une sous-suite de \\((x\_n)\\)
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||||
- Alors \\((y\_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a\\)
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- Soient \\((x_n), (y_n), (z_n) \subseteq \mathbb{R}, a \in \mathbb{R} \\)
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||||
- Si \\((y\_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a \text{ et } (z\_n)\xrightarrow[n \to \infty]{} a\\) deux sous-suites exhaustives de \\((x\_n)\\)
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- Alors, \\((x\_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a\\)
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> Pourquoi préférons nous travailler avec des inégalités larges ?
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> - Parce que ca nous permet une plus grande souplesse lors des passage à la limite; Toutes les inéaglités deviennent large au passage à la limite.
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### L'exhaustivitée
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- Soient \\( (x\_n)\_{n \in I}, (y\_n)\_{n \in J\_1}, (z\_n)\_{n \in J\_2} \subseteq \mathbb{R}\\)
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- On suppose que \\( (y\_n) \text{ et } (z\_n)\\) sont des sous-suites de \\((x\_n)\\), càd
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\\[
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\exists \varphi\_1 : J\_1 \to I \text{ strictement croissante et } y\_n = x\_{\varphi\_1 (n)} \\\\
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\exists \varphi\_2 : J\_2 \to I \text{ strictement croissante et } z\_n = x\_{\varphi\_2 (n)}
|
||||
\\]
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||||
- Alors, \\( (y\_n) et (z\_n)\\) sont des sous-suites **Exhaustives** de \\((x\_n) \text{ si } \varphi\_1(J\_1) \cup \varphi\_2(J\_2) = I\\)
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## Convergence vers + ou - \\(\infty\\)
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On dit qu'une suite converge vers \\(\pm \infty\\) si les éléments de la suite deviennent aussi grand qu'on veut dans ls positifs/négatifs
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pour autant que n soit suffisament grand
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La notation reste inchangée, l'unicitée de la limite est d'applications
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\\((x_n)\\) **converge au sens large** si \\(\begin{align}x\_n \xrightarrow[]{} & a ( a \in \mathbb{R} ) \\\\ &+\infty \\\\ &-\infty\end{align}\\)
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- \\( n^p \xrightarrow[]{} +\infty \text{ si } p > 0\\)
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- \\( a^n \xrightarrow[]{} +\infty \text{ si } a > 1\\)
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@ -1 +1,11 @@
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# Limites de fonctions
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La limite d'une fonction se note \\[\lim\limits_{x \to a}f(x) = b\\] ou \\[f(x) \xrightarrow[x \to a]{} b\\]
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**Idée**: \\(f(x)\\) est aussi proche que je veux de b pour autant que x soit suffisament proche de a
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- Soitent \\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad a,b \in \mathbb{R}\\)
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- On dit que **f tend vers b quand x tend vers a** (\\(f(x) \xrightarrow[x \to a]{}b\\)) si
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- \\(\forall (x\_n) \subseteq dom(f) \quad (x\_n \to a) \implies (f(x\_n) \to b)\\)
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