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Debucquoy 2022-12-27 11:42:28 +01:00
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@ -32,7 +32,191 @@ Si ces conditions permettent une suite **infinie** On cherche la valeur ordonné
- Une **suite** est une fonction tel que - Une **suite** est une fonction tel que
- \\(I \to \mathbb{R}: n \mapsto x_n \text{ où } I = \mathbb{N}^{\geq k} \text{ où } k\in \mathbb{N}\\) - \\(I \to \mathbb{R}: n \mapsto x_n \text{ où } I = \mathbb{N}^{\geq k} \text{ où } k\in \mathbb{N}\\)
## Notation ### Borne ou majoration
On dit qu'une suite est **majorée** ou **bornée supérieurement** / **minorée** ou **bornée inférieurement** s'il existe
\\[R \in \mathbb{R} \quad \forall n \in I, x\_n \leq R \text { / } x\_n \geq R\\] Ce \\(R\\) est appelé un **majorant** / un **minorant**
- Soit \\((x\_n)\_{n\in I} \subseteq \mathbb{R}\\), si soit:
- \\((x\_n)\\) est **Croissante** et **Majorée**,
- \\((x\_n)\\) est **Décroissante** et **Minorée**,
- Alors \\((x\_n)\\) **Converge au sens strict**
- \\((x\_n)\\) est **Croissante** et **Non Majorée**,
- Alors \\(x\_n \xrightarrow[n \to + \infty]{} + \infty\\)
- \\((x\_n)\\) est **Décroissante** et **Non Minorée**,
- Alors \\(x\_n \xrightarrow[n \to + \infty]{} - \infty\\)
- Soit \\((x\_n)\_{n\in I} \subseteq \mathbb{R}\\), si soit:
- On dit que \\((x\_n)\\) est **Bornée** si:
- \\(\exists R\_1, R\_2 \in \mathbb{R} , \forall n \in I \quad R\_1 \leq x\_n \leq R\_2\\)
- (équivalent à : ) \\( \exists R > 0, \forall n \in I \quad |x\_n| \geq R\\)
**Remarque:** Une suite d'éléments positifs est minorée par 0; Une suite d'éléments négatifs est majorée par 0
**Remarque:** Une suite croissante est minorée par son 1e élément; Une suite décroissante est majorée par son 1e élément
## Convergence
Une suite \\((x_n)\\) converge vers un réel a si
1) \\(x_n\\) est proche de a lorsque n devient grand
2) La distance entre \\(x_n\\) et a est de plus en plus petite (peut contenir l'élément vers lequel il converge (ex: \\((0)_{n \in \mathbb{N}}\\))
3) La distance entre \\(x_n \text{ et } a\\) peut être rendue aussi petite que je le veux.
- Donc \\(d(x_n, a) = |x_n - a| \leq \varepsilon, \varepsilon \in \mathbb{R}\\)
- \\( (x\_n)\\) **Converge au sens large**
- si \\( (x\_n) \xrightarrow[n \to \infty]{}\begin{cases} a \\\\ +\infty \\\\ -\infty\end{cases} \\)
### Convergence vers + ou - \\(\infty\\)
On dit qu'une suite converge vers \\(\pm \infty\\) si les éléments de la suite deviennent aussi grand qu'on veut dans ls positifs/négatifs
pour autant que n soit suffisament grand
La notation reste inchangée, l'unicitée et l'exhaustivitée des limites sont d'applications
\\((x_n)\\) **converge au sens large** si \\(\begin{align}x\_n \xrightarrow[]{} & a ( a \in \mathbb{R} ) \\\\ &+\infty \\\\ &-\infty\end{align}\\)
### Unicitée de la limite
- Soient \\((x_n) \subseteq \mathbb{R} \text{ et } a_1, a_2 \in \mathbb{R}\\)
- Si \\((x_n)\\) converge à la fois vers \\(a_1 \text{ et vers } a_2 \text{ alors } a_1 = a_2\\)
### Régles de calculs
1) \\((a)\_{n \in \mathbb{N}} \xrightarrow[n \to \infty]{} a\\)
2) - \\((\frac{1}{n^p}) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 \text{ si } p > 0\\)
- \\( n^p \xrightarrow[]{} +\infty \text{ si } p > 0\\)
3) - \\((a^n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 \text{ si } a \in ]-1,1[\\)
- \\((a^n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1 \text{ si } a = 1\\)
- \\((a^n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} + \infty \text{ si } a > 1\\)
- \\((a^n) \text{ ne converge pas si } a \leq -1\\)
- Soient \\(a, b \in \mathbb{R}\\) et \\((x_n) , (y_n) \subseteq \mathbb{R}\\) .
- On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a \quad (y_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} b \\)
1) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n + y_n = a + b\\)
2) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n * y_n = a * b\\)
3) \\(\lim\limits_{n \to \infty}\frac{x_n}{y_n} = \frac{a}{b} \text{ si } b \neq 0\\)
- On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} + \infty \quad (y_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} + \infty \\)
1) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n + y_n = + \infty\\)
2) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n * y_n = + \infty\\)
- On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} - \infty \quad (y_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} - \infty \\)
1) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n + y_n = - \infty\\)
2) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n * y_n = + \infty\\)
- On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} + \infty \quad (y_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a \\)
1) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n + y_n = + \infty\\)
2) Si \\(a > 0 \quad \lim\limits_{n \to \infty}x_n * y_n = + \infty\\)
- On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} - \infty \quad (y_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a \\)
1) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n + y_n = - \infty\\)
2) Si \\(a < 0 \quad \lim\limits_{n \to \infty}x_n * y_n = - \infty\\)
- On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} + \infty \quad (y_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} - \infty \\)
1) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n + y_n = \\) Indéterminé[^indéterminé]
2) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n * y_n = - \infty\\)
- On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} \pm \infty \quad (y_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 \\)
1) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n * y_n = \\) Indéterminé[^indéterminé]
- On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} + \infty \quad (y_n) \text{ est bornée inférieurement }\\)
1) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n + y_n = + \infty\\)
- On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} + \infty (y\_n) \\) converge au sens large et \\(\lim y\_n > 0\\)
1) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_ny_n = + \infty\\)
- On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} + \infty (y\_n) \\) converge au sens large et \\(\lim y\_n < 0\\)
1) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_ny_n = - \infty\\)
- On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} + \infty \text{ ou } (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} - \infty\\)
1) \\(\lim\limits_{n \to \infty} 1/x\_n = 0\\)
- On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 \text{ et } \exists n^\* \in \mathbb{N}, \forall n \geq n^\*, x\_n > 0\\)
1) \\(\lim\limits_{n \to \infty} 1/x\_n = + \infty\\)
- On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 \text{ et } \exists n^\* \in \mathbb{N}, \forall n \geq n^\*, x\_n < 0\\)
1) \\(\lim\limits_{n \to \infty} 1/x\_n = - \infty\\)
[^indéterminé]: Dans le cas d'indétermination il faut [Lever l'indétermination](./chap1.html#lever-lindétermination)
#### Lever l'indétermination
Lorsqu'un résultat est un cas d'indétermination, ca ne veux pas dire qu'on ne peux pas prévoir ce qu'il va se passer...
On peut avoir:
- \\(x\_n + y\_n \to + \infty\\)
- \\(x\_n + y\_n \to - \infty\\)
- \\(x\_n + y\_n \to a \in \mathbb{R}\\)
- \\(x\_n + y\_n \\) ne converge pas
On étudie alors la vitesse de croissance de chaques suites et tirons une conclusion
### Caractéristique de suites convergentes
- Soit \\((x\_n)\_{n \in I} \subseteq \mathbb{R}\\)
- On dit que \\((x\_n)\\) est **Croissante** si
- \\( \forall n \in I \quad x\_n \leq x\_{n+1}\\)
- On dit que \\((x\_n)\\) est **Décroissante** si
- \\( \forall n \in I \quad x\_n \geq x\_{n+1}\\)
Une **Technique** Pour trouver la croissance d'une suite:
- Tester si la suite est croissante ou décroissante.
1) Si c'est vrai,
- la suite est croissante ou décroissante
2) Si c'est faux,
- la suite est l'inverse de la préduction
3) Si c'est vrai et faux (ex: \\(n \leq 4\\))
- La croissance est variable donc ni croissante ni décroisante
## Comparaison des suites
### Théorem de la convergence dominée
Pour se faire nous avons besoin d'une intuition pour a
- Soient \\((x_n), (y_n) \subseteq \mathbb{R}, a \in \mathbb{R} \\)
1) Si \\((y_n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0\\)
2) Si \\(\forall n, |x_n - a| \leq y_n\\)
- Alors \\(x_n \xrightarrow[x \to +\infty]{} a\\)
- Soient \\((x_n), (y_n) \subseteq \mathbb{R} \\)
1) Si \\((y_n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} \pm \infty\\)
2) Si \\(\exists n^\ast \in \mathbb{N}, \forall n \geq n^\ast, x\_n \geq y\_n\\)
- Alors \\(x_n \xrightarrow[x \to +\infty]{} \pm \infty\\)
### Théorem du Sandwich
- Soient \\((x_n), (y_n), (z_n) \subseteq \mathbb{R}, a \in \mathbb{R} \\)
1) Si \\((y_n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} a \text{ et } (z_n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} a\\)
2) Si \\(\forall n, y_n \leq x_n \leq z_n\\)
- Alors \\(x_n \xrightarrow[x \to +\infty]{} a\\)
## Les sous-suites
Pour construire une sous-suite, on pioche des éléments. mais:
1) On ne peut pas piocher 2x les mêmes éléments
2) On doit réspécter l'ordre d'apparition des éléments
- Soient \\( (x_n)\_{n \in I}\subseteq \mathbb{R}, (y_n)\_{n \in J}\subseteq \mathbb{R}\\)
- \\( (y_n)\\) est une **Sous-suite** de \\((x_n)\\) Si:
- Il existe une [application](../logique/fonctions.md) \\(\varphi : J \to I\\) strictement croissante
- \\(\forall n \in J , y_n = x\_{\varphi(n)}\\)
- Alors \\((y\_n) \subseteq (x\_n)\\)
### Propositions: Rapport des sous-suites et des suites
- Soient \\((x\_n) \subseteq \mathbb{R}, (y\_n) \subseteq \mathbb{R} \text{ et } a \in \mathbb{R}\\)
- Si \\( (x\_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a \\) et que \\((y\_n)\\) est une sous-suite de \\((x\_n)\\)
- Alors \\((y\_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a\\)
- Soient \\((x_n), (y_n), (z_n) \subseteq \mathbb{R}, a \in \mathbb{R} \\)
- Si \\((y\_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a \text{ et } (z\_n)\xrightarrow[n \to \infty]{} a\\) deux sous-suites exhaustives de \\((x\_n)\\)
- Alors, \\((x\_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a\\)
### L'exhaustivitée
- Soient \\( (x\_n)\_{n \in I}, (y\_n)\_{n \in J\_1}, (z\_n)\_{n \in J\_2} \subseteq \mathbb{R}\\)
- On suppose que \\( (y\_n) \text{ et } (z\_n)\\) sont des sous-suites de \\((x\_n)\\), càd
\\[
\exists \varphi\_1 : J\_1 \to I \text{ strictement croissante et } y\_n = x\_{\varphi\_1 (n)} \\\\
\exists \varphi\_2 : J\_2 \to I \text{ strictement croissante et } z\_n = x\_{\varphi\_2 (n)}
\\]
- Alors, \\( (y\_n) et (z\_n)\\) sont des sous-suites **Exhaustives** de \\((x\_n) \text{ si } \varphi\_1(J\_1) \cup \varphi\_2(J\_2) = I\\)
## Notations
le terme générale d'une suite est noté le terme générale d'une suite est noté
\\[ \\[
@ -60,26 +244,6 @@ C'est une suite arithmétique de raison 4 (Pour passer à l'élément suivant on
\\[ \forall n \in \mathbb{N} \quad x_n = x_0 * q^n \\] \\[ \forall n \in \mathbb{N} \quad x_n = x_0 * q^n \\]
## Convergence
Une suite \\((x_n)\\) converge vers un réel a si
1) \\(x_n\\) est proche de a lorsque n devient grand
2) La distance entre \\(x_n\\) et a est de plus en plus petite (peut contenir l'élément vers lequel il converge (ex: \\((0)_{n \in \mathbb{N}}\\))
3) La distance entre \\(x_n \text{ et } a\\) peut être rendue aussi petite que je le veux.
- Donc \\(d(x_n, a) = |x_n - a| \leq \varepsilon, \varepsilon \in \mathbb{R}\\)
- \\( (x\_n) **Converge au sens large** \\)
- si \\( (x\_n) \xrightarrow[n \to \infty]{}\begin{cases} a \\\\ +\infty \\\\ -\infty\end{cases} \\)
## Unicitée de la limite
- Soient \\((x_n) \subseteq \mathbb{R} \text{ et } a_1, a_2 \in \mathbb{R}\\)
- Si \\((x_n)\\) converge à la fois vers \\(a_1 \text{ et vers } a_2 \text{ alors } a_1 = a_2\\)
### Notation
### Convergence ### Convergence
Pour exprimer que \\((x_n)\\) converge vers a: Pour exprimer que \\((x_n)\\) converge vers a:
@ -97,80 +261,7 @@ Pour exprimer que \\((x_n)\\) converge vers a:
- représente le plus petit entier supérieur ou égal à \\(y\\) - représente le plus petit entier supérieur ou égal à \\(y\\)
- ex: \\(\lceil \pi \rceil = 4\\) - ex: \\(\lceil \pi \rceil = 4\\)
> Pourquoi préférons nous travailler avec des inégalités larges ?
### Regles de calculs > - Parce que ca nous permet une plus grande souplesse lors des passage à la limite; Toutes les inéaglités deviennent large au passage à la limite.
1) \\((a)\_{n \in \mathbb{N}} \xrightarrow[n \to \infty]{} a\\)
2) \\((\frac{1}{n^P}) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 \text{ si } P > 0\\)
3) \\((a^n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 \text{ si } a \in ]-1,1[\\)
- Soient \\(a, b \in \mathbb{R}\\) et \\((x_n) , (y_n) \subseteq \mathbb{R}\\) .
- On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a \\)
- On suppose que \\( (y_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} b \\)
1) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n + y_n = a + b\\)
2) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n * y_n = a * b\\)
3) \\(\lim\limits_{n \to \infty}\frac{x_n}{y_n} = \frac{a}{b} \text{ si } b \neq 0\\)
## Comparaison des suites
### Théorem de la convergence dominée
Pour se faire nous avons besoin d'une intuition pour a
- Soient \\((x_n), (y_n) \subseteq \mathbb{R}, a \in \mathbb{R} \\)
1) Si \\((y_n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0\\)
2) Si \\(\forall n, |x_n - a| \leq y_n\\)
- Alors \\(x_n \xrightarrow[x \to +\infty]{} a\\)
### Théorem du Sandwich
- Soient \\((x_n), (y_n), (z_n) \subseteq \mathbb{R}, a \in \mathbb{R} \\)
1) Si \\((y_n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} a \text{ et } (z_n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} a\\)
2) Si \\(\forall n, y_n \leq x_n \leq z_n\\)
- Alors \\(x_n \xrightarrow[x \to +\infty]{} a\\)
## Les sous-suites
Pour construire une sous-suite, on pioche des éléments. mais:
1) On ne peut pas piocher 2x les mêmes éléments
2) On doit réspécter l'ordre d'apparition des éléments
- Soient \\( (x_n)\_{n \in I}\subseteq \mathbb{R}, (y_n)\_{n \in J}\subseteq \mathbb{R}\\)
- \\( (y_n)\\) est une **Sous-suite** de \\((x_n)\\) Si:
- Il existe une [application](../logique/fonctions.md) \\(\varphi : J \to I\\) strictement croissante
- \\(\forall n \in J , y_n = x\_{\varphi(n)}\\)
- Alors \\((y\_n) \subseteq (x\_n)\\)
### Proposition
- Soient \\((x\_n) \subseteq \mathbb{R}, (y\_n) \subseteq \mathbb{R} \text{ et } a \in \mathbb{R}\\)
- Si \\( (x\_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a \\) et que \\((y\_n)\\) est une sous-suite de \\((x\_n)\\)
- Alors \\((y\_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a\\)
- Soient \\((x_n), (y_n), (z_n) \subseteq \mathbb{R}, a \in \mathbb{R} \\)
- Si \\((y\_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a \text{ et } (z\_n)\xrightarrow[n \to \infty]{} a\\) deux sous-suites exhaustives de \\((x\_n)\\)
- Alors, \\((x\_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a\\)
### L'exhaustivitée
- Soient \\( (x\_n)\_{n \in I}, (y\_n)\_{n \in J\_1}, (z\_n)\_{n \in J\_2} \subseteq \mathbb{R}\\)
- On suppose que \\( (y\_n) \text{ et } (z\_n)\\) sont des sous-suites de \\((x\_n)\\), càd
\\[
\exists \varphi\_1 : J\_1 \to I \text{ strictement croissante et } y\_n = x\_{\varphi\_1 (n)} \\\\
\exists \varphi\_2 : J\_2 \to I \text{ strictement croissante et } z\_n = x\_{\varphi\_2 (n)}
\\]
- Alors, \\( (y\_n) et (z\_n)\\) sont des sous-suites **Exhaustives** de \\((x\_n) \text{ si } \varphi\_1(J\_1) \cup \varphi\_2(J\_2) = I\\)
## Convergence vers + ou - \\(\infty\\)
On dit qu'une suite converge vers \\(\pm \infty\\) si les éléments de la suite deviennent aussi grand qu'on veut dans ls positifs/négatifs
pour autant que n soit suffisament grand
La notation reste inchangée, l'unicitée de la limite est d'applications
\\((x_n)\\) **converge au sens large** si \\(\begin{align}x\_n \xrightarrow[]{} & a ( a \in \mathbb{R} ) \\\\ &+\infty \\\\ &-\infty\end{align}\\)
- \\( n^p \xrightarrow[]{} +\infty \text{ si } p > 0\\)
- \\( a^n \xrightarrow[]{} +\infty \text{ si } a > 1\\)

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@ -1 +1,11 @@
# Limites de fonctions # Limites de fonctions
La limite d'une fonction se note \\[\lim\limits_{x \to a}f(x) = b\\] ou \\[f(x) \xrightarrow[x \to a]{} b\\]
**Idée**: \\(f(x)\\) est aussi proche que je veux de b pour autant que x soit suffisament proche de a
- Soitent \\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad a,b \in \mathbb{R}\\)
- On dit que **f tend vers b quand x tend vers a** (\\(f(x) \xrightarrow[x \to a]{}b\\)) si
- \\(\forall (x\_n) \subseteq dom(f) \quad (x\_n \to a) \implies (f(x\_n) \to b)\\)