Relation d'ordre

src/math/disc/relations.md

@@ -101,3 +101,25 @@ Par example,
             2) \\( \forall A_ i, A_ j \in \mathcal{P} \quad A_ i \neq A_ j \implies A_ i \cap A_ j = \emptyset\\) 
 
 On a donc que \\( A/R \\) est une partition de A
+
+## Les relations d'ordre
+
+- Soit \\( A \\) un ensemble, \\( R \subseteq A \times A \\) 
+    - On dit que \\( R \\) est **une relation d'ordre** sur \\( A \\) ssi \\( R \\) est:
+        1) Réfléxive
+        2) Transitive
+        3) Anti-Symétrique
+    - On dit alors que \\( (A, R) \\) est un ensemble ordonné
+
+Exemple: \\( (a, =), (\mathbb{N} \leq), (\mathbb{R} \leq ), (\mathbb{R}, \geq ), (\mathbb{N}_ 0, \vert ), (2^X, \subseteq)\\) 
+
+- Soit \\( (A, R) \\)  un ensemble ordonné, Soit \\( a, b \in A \\)
+    - On dit que a et b sont **Comparables** (par rapport à R) ssi
+        - \\( a R b \lor b R a \\) 
+    - Sinon ils sont **Incomparable**
+
+- Soit \\( (A, R) \\) un ensemble ordonné.
+    - On dit que l'ensemble est **Totalement ordonné** ssi
+        - Il ne contient pas de paire d'incomparable pour R
+        - \\( \forall a,b \in A \quad aRb \lor bRa\\) 
+