finish cours, pas au propre

src/math/calculus/chap3.md

@@ -12,6 +12,12 @@ Donc \\(a \in adh(dom(f) \backslash \\{a\\}) \cap dom(f) \\)
 
 Il faut qu'il existe \\((x\_n) \subseteq dom(f) \backslash \\{a\\} \text{ tq } x\_n \to a\\) (donc que a \\(\in dom(f)\\) ne soit pas un point isolé)
 
+- On dit que f est dérivable sur \\(A \subseteq dom(f)\\)
+    - Si \\(\forall a\in A \quad a \in dom(f) \cap adh(dom(f) \backslash \\{a\\})\\) et f est dériable en a
+
+- si \\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\) est dérivable en \\(a \in dom(f)\\)
+    - alors f est continue en a
+
 ## Notation
 
 Quand la dérivée est définie, on la note 
@@ -115,5 +121,59 @@ On peut dériver les 2 cotés de l'équation sur [-1;1] et nous pouvons en dédu
 
 - Si f est croissante et dérivable en \\(a \in dom(f) \cap adh(dom(f) \backslash \\{a\\})\\)
     - Alors \\(\partial f(a) \geq 0\\)
+- Si \\(f: [a,b] \to \mathbb{R}\\) une application continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[
+    - Si \\(\forall x \in ]a,b[ \quad \partial f(x) \geq 0\\)
+        - alors f est croissante sur [a,b]
+
+- Soit \\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad a\in dom(f)\\)
+    - a est un point **min** à f (ou f atteint son min en a)
+        - Si \\(\forall x\in dom(f) \quad f(x) \geq f(a)\\)
+        - Si \\(\partial f(a) = 0\\) et f est décroissante sur \\(]-\infty , a[\\) et f est croissante sur \\([a, +\infty [\\)
+    - a est un point **max** à f (ou f atteint son min en a)
+        - Si \\(\forall x\in dom(f) \quad f(x) \leq f(a)\\)
 
 
+Ces points a ne sont pas forcément unique. on peut avoir plusieurs a minimum mais \\(f(a) = f'(a)\\)
+
+- Si a est un min/max de f et f est dérivable en a
+    - \\(\forall r > 0 \quad [a-r, a] \cap dom(f) \neq \emptyset \\) et \\(\forall r > 0 \quad [a, a+r] \cap dom(f) \neq \emptyset \\)
+        - alors \\(\partial f(a) = 0\\)
+
+- Si \\(\partial f(a) = 0 \text{ et } \partial ^2 f(a) > 0\\)
+    - alors \\(\exists r > 0 \quad \begin{align}& f \searrow \text{ sur } [a-r, a] \\\\ & f \nearrow \text{ sur } [a, a + r] \end{align}\\)
+        - d'où a est un point min de f sur [a-r, a+r]
+            - f est défini et dérivée 2 fois sur [a-e, a+e]\ (ou en général r < e)
+
+
+
+### Théorem de la moyenne
+
+Ce théorem décrit le fait que dans application continue, si nous prenons un interval [a,b] et regardons la pente entre a et b. nous pourons trouver un point qui à une valeur de dérivée égale à cette pente
+
+- Si \\(f: [a,b] \to \mathbb{R}\\) une application continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[ 
+    - alors il existe un \\(\xi \in ]a,b[\\) tq \\(f(b) - f(a) = \partial f(\xi ) (b-a)\\)
+\\[
+\partial y(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}
+\\]
+
+
+## Dérivés multiples
+
+Il est possible de dériver la dérivée d'une fonction et ce à plusieurs reprise
+
+- Si \\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\)
+    - On appelle la **fonction dérivée** la fonction \\(\partial f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad a \mapsto \partial f(a)\\)
+        - \\(dom(\partial f) = \\{a \in dom(f) \vert a \in adh(dom(f) \backslash \\{a\\}) \text{ et a est dérivée en a }\\}\\)
+        - si \\(a \in dom(\partial f) \cap adh(dom(\partial f) \backslash \\{a\\}\\) 
+            - alors, on peut regarder si \\(\partial(\partial f)(a)\\) existe.
+                - Si c'est le cas, on appelle ca la dérivée seconde de f et on la note \\(\partial ^2 f(a)\\)
+
+- soit \\(k \in \mathbb{N}\\) si f possède k-1 dérivé sur un interval autour de \\(a \in dom(f) \text{ et } \partial ^{k-1} f\\) est dérivable en a
+    - alors, on dit que la dérivée \\(k^e\\) dans f en a existe et on la note \\(\partial ^k f(a) = \partial (\partial ^{k-1} f) f(a)\\)
+
+Définition par récurence
+
+\\[
+    \partial ^0 f = f \\\\
+    \partial ^k = \partial(\partial ^{k-1} f)
+\\]

src/math/calculus/chap4.md

@@ -1 +1,88 @@
 # Développement de Taylor
+
+Nous pouvons voir que 
+
+\\[
+    f(x) \approx f(a) + \partial f(a)(x-a) \\\\
+    \Downarrow \\\\
+    f(x) \xrightarrow[x \to a]{} f(a)
+\\]
+
+attention, f continue en a n'impliques pas que f est dérivée en a
+
+Nous cherchons donc à éttendre ca affin d'avoir une approximantion de fonction avec un polynome et ainsi pouvoir effectuer des opérations de limites sur ces fonctions
+
+## Petit-o
+
+On veut que \\(f(x) - (mx+p) \\) tende vers 0 plus vite que x-a
+
+- g est une fonction ("qui converge plus vite vers 0 que x-a quand x \to a")
+    - g est un petit-o ("o()") de x-a
+
+- Soit \\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad a \in dom(f)\\)
+    - On dit que la droite d'équation \\(y = mx + p\\ est **tangeante au graph de f**
+        - si \\(f(x) - (mx + p)\\) est un o (petit-o) de (x-a) quand \\(x\to a\\)
+            - càd \\(\lim\limits_{x\to a} \frac{f(x) - (mx + p)}{x - a} = 0\\) et \\(f(a) - (ma+p) = 0\\)
+
+- g est un **petit-o** de \\((x-a) ^k \quad k \in \mathbb{N}\\) si
+    - \\(\frac{g(x)}{(x-a) ^k} \xrightarrow[x\to a]{} 0\\) et \\(g(a) = 0 \text{ si } a \in dom(g)\\)
+        - se note \\(f(x) = o((x-a)^k)\\)
+
+- Donc
+    - \\(g(x) = o(1) \implies g(x) \xrightarrow[x\to a \\\\ \neq]{} 0\\) et \\(g(a) = 0 \text{ si } a \in dom(g)\\)
+    - \\((x-a)^l = o((x-a)^k)\\)
+        - si \\(l > k\\)
+
+### Notation
+
+\\(o(x-a)\\) représente une fonction qui est un petit o de x-a quand x tends vers a qui peut changer à chauqes occurences de o(x-a)
+
+ca représente ce qui est négligeable pour une fonction quand sa limite tend vers 0
+
+\\[
+    f(x) = o(g(x)) \iff \lim\limits_{x\to +\infty } \frac{f(x)}{g(x)} = 0
+\\]
+
+- Soit \\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad a \in dom(f) \cap adh(dom(f) \backslash \\{a\\})\\)
+    - Alors f est dérivée en \\(a \iff \exists m,p \quad y=mx+p\\) est tangeant au graphe de f en \\((a, f(a))\\)
+        - Auquel cas \\(m = \partial f(a) \text{ et } p = f(a) - \partial f(a) * a\\)
+
+### Régles de calculs pour "o"
+    
+- \\(o(x-a) + o(x-a) = (x-a)\\)
+- si \\(f = o(x-a)\\)
+    - alors \\(f(x) \xrightarrow[x \to a]{} 0\\)
+- \\(o(x-a) * o(x-a) = o(x-a)\\)
+
+## Continuitée de fonctions dérivables 
+
+Comme vu dans le paragraphe sur [la continuitée des fonctions](./chap2.html#la-continuitée-des-fonctions)
+Nous pouvons noter 
+- \\(\mathscr{C}(A;B) = \\{f:A \to B \text{ application } | f \text{ est continue en } A\\}\\)
+
+Ajoutons à cette notation:
+- \\(\mathscr{C} ^1 (A;B) = \\{f: A\to B \text{ application } | f \text{ est dérivable sur A } \text{ et } \partial f \text{ est continue sur } A\\}\\) 
+- \\(\mathscr{C} ^k (A;B) = \\{f: A\to B \text{ application } | f^k \text{ est dérivable sur A } \text{ et } \partial^k f: A \to B \text{ est continue sur } A\\}\\) 
+
+Comme les fonctions dérivables sur A sont continue sur A. On a: \\(\mathscr{C}^1(A;B) \subseteq \mathscr{C}^0 (A;B)\\) 
+De plus \\(\mathscr{C}^2(A;B) \subseteq \mathscr{C}^1(A;B) \subseteq \mathscr{C}^0 (A;B)\\)
+
+## Polynomes
+
+Nous cherchons à transformer notre fonction en un polynome
+
+\\[
+f(x) = P(x) + o((x-a) ^k) \quad P \in \mathbb{P}^{\leq k} = \\{P \text{ polynome } | \text{ deg } P \leq k\\}
+\\]
+
+- Soit \\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad a \in dom(f) \cap adh(dom(f) \backslash \\{a\\}) \quad k \in \mathbb{N}\\)
+    - On dit que \\(P \in \mathbb{P} ^{\leq k}= \\{P \text{ polynome } | \text{ deg } P \leq k\\}\\) est un **Dévelopement de Taylor** de f en a d'ordre k
+        - Si \\(f(x) = P(x) + o((x-a)^k)\\)
+
+Si un Dévelopement de Taylor de f en a d'odre k existe alors il est unique.
+
+- Si \\(f: I \to \mathbb{R} \quad I \text { un interval } \quad a \in I \text{ sauf son bord } \quad k \in \mathbb{N} \\) et \\(f \in \mathscr{C} ^k (I; R)\\)
+    - Alors le D.T. de f en a d'ordre k est le Polynome: \\(\sum_{i = 0}^{k} \frac{\partial ^i f(a)}{i!} * (x - a)^i\\)
+
+- Si \\(f: I \to \mathbb{R} \quad I \text { un interval } \quad a \in I \text{ sauf son bord } \quad k \in \mathbb{N} \\) et f est k + 1 fois dérivable en I
+    - Alors \\(\forall x \in I \quad \exists \xi \in [a, x] \qquad f(x) = \sum_{i = 0}^{k} \frac{\partial ^i f(a)}{i!} * (x - a)^i + \underbrace{\frac{\partial k+1 f(\xi )}{(k+1) !} * (x - a)^{k+1}}\_{o((x-a)^k)}\\)