relations

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Debucquoy Anthony 2023-03-31 14:50:19 +02:00
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Signed by: tonitch
GPG Key ID: A78D6421F083D42E

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@ -78,5 +78,26 @@ Ces matrices peuvent nous aider à comprendre mieux ce qu'il se passe
- Soit \\( R \subseteq A \times A \\) une relation d'équivalence - Soit \\( R \subseteq A \times A \\) une relation d'équivalence
- Soit \\( a \in A \\) - Soit \\( a \in A \\)
- La **Classe d'éaquivalence** de A (Pour R), notée \\( [a]_ R \\) - La **Classe d'équivalence** de A (Pour R), notée \\( [a]_ R \\)
- \\( [a]_ R = \\{ b \in A \mid a R b \\} \\) - \\( [a]_ R = \\{ b \in A \mid a R b \\} \\)
- **Le quotient de A par R**, noté \\( A/R \\)
- \\( A/R = \\{ [a]_ R \mid a \in A \\} \\)
Par example,
- \\( A = \\{ 0, 1, 2, 3, 4, 5\\} \\)
- \\( R = \\{ (a,b) \in A^2 \mid a \equiv_3 b \\}\\) est une relation d'équivalence
- \\( [0]_ R = \\{ b \in A \mid 0 \equiv_3 b \\} = \\{ 0, 3 \\} = [3] _R \\)
- Soit \\( R \subseteq A^2 \\) une relation d'équivalence
- Soient \\( a, b \in A \\). Les affirmations suivantes sont équivalence
1) \\( a R b \\)
2) \\( [a]_ R = [b]_ R \\)
3) \\( [a]_ R \cap [b]_ R \neq \emptyset \\)
- Soit \\( A \\) un ensemble.
- P **une Partition** de A
- \\( \mathcal{P} = \\{ A_ i \mid A_ i \subseteq A \\} \\) tq
1) \\(\cup_ {A_i \in \mathcal{P}} A_ i = A \\)
2) \\( \forall A_ i, A_ j \in \mathcal{P} \quad A_ i \neq A_ j \implies A_ i \cap A_ j = \emptyset\\)
On a donc que \\( A/R \\) est une partition de A