chap1 todo: finish

src/math/calculus/chap1.md

@@ -1,25 +1,25 @@
 # Suite numérique et leurs convergences
 
-Une **Suite** est une collection de nombres **Infinie** et **Ordonée** de nombres réels.
+Une **Suite** est une collection **Infinie** et **Ordonée** de nombres réels.
-    - **Infinie**: Ne s'arrete pas
+
-    - **Ordonée**: La place des nombres dans la suite est importante
+- **Infinie**: Ne s'arrete pas
+- **Ordonée**: La place des nombres dans la suite est importante
 
 Nous cherchons à savoir quelle est la valeur de l'élément situé à une position donnée
 
-## Fonctions
+Une suite est également une fonction de la forme: 
-
-On parle alors de fonction pour définir une suite:
 
 \\[
     n \mapsto x_n
 \\]
+
 où n est l'indice (\\(\in\mathbb{N}\\)) et \\(x_n\\) est l'élément (\\(\in\mathbb{R}\\))
 
 ### Rappel
 
 Une [fonction](../logique/fonctions.md) est une relation qui à chaques éléments de A fait corespondre **au plus, un** élément de B
 \\[
-    f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}: x\mapsto y = x^2
+    f: A \to B: x\mapsto y = x^2
 \\]
 
 **Atention, A n'est pas forcément le domaine** mais \\(f \subseteq A\\) Toujours
@@ -60,36 +60,56 @@ C'est une suite arithmétique de raison 4 (Pour passer à l'élément suivant on
 
 \\[ \forall n \in \mathbb{N} \quad  x_n = x_0 * q^n \\]
 
+
 ## Convergence 
 
-1) \\((x_n)\\) converge vers un réel a si \\(x_n\\) est proche de a lorsque n devient grand
+Une suite \\((x_n)\\) converge vers un réel a si
+
+1) \\(x_n\\) est proche de a lorsque n devient grand
 2) La distance entre \\(x_n\\) et a est de plus en plus petite (peut contenir l'élément vers lequel il converge (ex: \\((0)_{n \in \mathbb{N}}\\))
-3) Une suite \\((x_n)\\) converge vers un réel a si la distance entre \\(x_n \text{ et } a\\) peut être rendue aussi petite que je le veux.
+3) La distance entre \\(x_n \text{ et } a\\) peut être rendue aussi petite que je le veux.
     - Donc \\(d(x_n, a) = |x_n - a| \leq \varepsilon, \varepsilon \in \mathbb{R}\\)
 
-- **Unicitée de la limite**:
+- \\( (x\_n) **Converge au sens large** \\)
-    - Soient \\((x_n) \subseteq \mathbb{R} \text{ et } a_1, a_2 \in \mathbb{R}\\)
+    - si \\( (x\_n) \xrightarrow[n \to \infty]{}\begin{cases} a \\\\ +\infty \\\\ -\infty\end{cases} \\)
-        - Si \\((x_n)\\) converge à la fois vers \\(a_1 \text{ et vers } a_2 \text{ alors } a_1 = a_2\\)
+
+## Unicitée de la limite
+
+- Soient \\((x_n) \subseteq \mathbb{R} \text{ et } a_1, a_2 \in \mathbb{R}\\)
+    - Si \\((x_n)\\) converge à la fois vers \\(a_1 \text{ et vers } a_2 \text{ alors } a_1 = a_2\\)
 
 ### Notation
 
+### Convergence
+
 Pour exprimer que \\((x_n)\\) converge vers a:
 \\[
     x_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} a \quad \text{ Ou } \quad \lim_{n \to +\infty}x_n = a 
 \\]
 
+### Partie entière
+
+- La partie entière de \\(x\\) se nôte: \\([x]\\)
+    - représente le plus grand entier inférieur à \\(x\\)
+        - ex: \\([-5.3] = -6\\)
+
+- L'entiers supérieur de \\(y\\) se nôte: \\(\lceil y \rceil\\)
+    - représente le plus petit entier supérieur ou égal à \\(y\\)
+        - ex: \\(\lceil \pi \rceil = 4\\)
+
+
 ### Regles de calculs
 
-1) La suite de constante \\(a \in \mathbb{R}\\), noté \\((a)_{n \in \mathbb{N}}\\) converge vers a
+1) \\((a)\_{n \in \mathbb{N}} \xrightarrow[n \to \infty]{} a\\)
 2) \\((\frac{1}{n^P}) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 \text{ si } P > 0\\)
 3) \\((a^n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 \text{ si } a \in ]-1,1[\\)
 
-- Soient \\(a, b \in \mathbb{R}\\) et \\((x_n), (y_n)\\) deux suites de réels.
+- Soient \\(a, b \in \mathbb{R}\\) et \\((x_n) , (y_n) \subseteq \mathbb{R}\\) .
-    - On suppose que \\(\lim\limits_{n \to \infty} x_n = a \\)
+    - On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a \\)
-    - On suppose que \\(\lim\limits_{n \to \infty} y_n = b \\)
+    - On suppose que \\( (y_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} b \\)
         1) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n + y_n = a + b\\)
         2) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n * y_n = a * b\\)
-        3) \\(\lim\limits_{n \to \infty}\frac{x_n}{y_n} = \frac{a}{b}\\)
+        3) \\(\lim\limits_{n \to \infty}\frac{x_n}{y_n} = \frac{a}{b} \text{ si } b \neq 0\\)
 
 ## Comparaison des suites
 
@@ -109,3 +129,48 @@ Pour se faire nous avons besoin d'une intuition pour a
     2) Si \\(\forall n, y_n \leq x_n \leq z_n\\)
         - Alors \\(x_n \xrightarrow[x \to +\infty]{} a\\)
 
+## Les sous-suites
+
+Pour construire une sous-suite, on pioche des éléments. mais:
+1) On ne peut pas piocher 2x les mêmes éléments
+2) On doit réspécter l'ordre d'apparition des éléments
+
+- Soient \\( (x_n)\_{n \in I}\subseteq \mathbb{R}, (y_n)\_{n \in J}\subseteq \mathbb{R}\\)
+    - \\( (y_n)\\) est une **Sous-suite** de \\((x_n)\\) Si:
+        - Il existe une [application](../logique/fonctions.md) \\(\varphi : J \to I\\) strictement croissante
+        - \\(\forall n \in J , y_n = x\_{\varphi(n)}\\)
+    - Alors \\((y\_n) \subseteq (x\_n)\\)
+
+### Proposition
+
+- Soient \\((x\_n) \subseteq \mathbb{R}, (y\_n) \subseteq \mathbb{R} \text{ et } a \in \mathbb{R}\\)
+    - Si \\( (x\_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a \\) et que \\((y\_n)\\) est une sous-suite de \\((x\_n)\\)
+        - Alors \\((y\_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a\\)
+
+- Soient \\((x_n), (y_n), (z_n) \subseteq \mathbb{R}, a \in \mathbb{R} \\)
+    - Si \\((y\_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a \text{ et } (z\_n)\xrightarrow[n \to \infty]{} a\\) deux sous-suites exhaustives de \\((x\_n)\\)
+        - Alors, \\((x\_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a\\)
+
+
+### L'exhaustivitée
+
+- Soient \\( (x\_n)\_{n \in I}, (y\_n)\_{n \in J\_1}, (z\_n)\_{n \in J\_2} \subseteq \mathbb{R}\\)
+    - On suppose que \\( (y\_n) \text{ et } (z\_n)\\) sont des sous-suites de \\((x\_n)\\), càd
+    \\[
+        \exists \varphi\_1 : J\_1 \to I \text{ strictement croissante et } y\_n = x\_{\varphi\_1 (n)} \\\\
+        \exists \varphi\_2 : J\_2 \to I \text{ strictement croissante et } z\_n = x\_{\varphi\_2 (n)}
+    \\]
+        - Alors, \\( (y\_n) et (z\_n)\\) sont des sous-suites **Exhaustives** de \\((x\_n) \text{ si } \varphi\_1(J\_1) \cup \varphi\_2(J\_2) = I\\)
+
+## Convergence vers + ou - \\(\infty\\)
+
+On dit qu'une suite converge vers \\(\pm \infty\\) si les éléments de la suite deviennent aussi grand qu'on veut dans ls positifs/négatifs 
+pour autant que n soit suffisament grand
+
+La notation reste inchangée, l'unicitée de la limite est d'applications
+
+\\((x_n)\\) **converge au sens large** si \\(\begin{align}x\_n \xrightarrow[]{} & a ( a \in \mathbb{R} ) \\\\ &+\infty \\\\ &-\infty\end{align}\\)
+
+- \\( n^p \xrightarrow[]{} +\infty \text{ si } p > 0\\)
+- \\( a^n \xrightarrow[]{} +\infty \text{ si } a > 1\\)
+

src/math/calculus/index.md

@@ -1 +1,6 @@
 # Calculus
+
+## Correction
+
+Remettre les correction d'exercices Supplémentaires à [Stéphanie Bridoux](mailto:Stephanie.Bridoux@umons.ac.be)
+Potentiellement à son bureau au Batiment **De Vinci 2e étage**