From 1d3b88a88b1905c85b2e0ee7e3c20bdd13fb010e Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Anthony Debucquoy Date: Wed, 14 Dec 2022 09:38:10 +0100 Subject: [PATCH] chap1 todo: finish --- src/math/calculus/chap1.md | 99 +++++++++++++++++++++++++++++++------- src/math/calculus/index.md | 5 ++ 2 files changed, 87 insertions(+), 17 deletions(-) diff --git a/src/math/calculus/chap1.md b/src/math/calculus/chap1.md index 0ed1997..c123268 100644 --- a/src/math/calculus/chap1.md +++ b/src/math/calculus/chap1.md @@ -1,25 +1,25 @@ # Suite numérique et leurs convergences -Une **Suite** est une collection de nombres **Infinie** et **Ordonée** de nombres réels. - - **Infinie**: Ne s'arrete pas - - **Ordonée**: La place des nombres dans la suite est importante +Une **Suite** est une collection **Infinie** et **Ordonée** de nombres réels. + +- **Infinie**: Ne s'arrete pas +- **Ordonée**: La place des nombres dans la suite est importante Nous cherchons à savoir quelle est la valeur de l'élément situé à une position donnée -## Fonctions - -On parle alors de fonction pour définir une suite: +Une suite est également une fonction de la forme: \\[ n \mapsto x_n \\] + où n est l'indice (\\(\in\mathbb{N}\\)) et \\(x_n\\) est l'élément (\\(\in\mathbb{R}\\)) ### Rappel Une [fonction](../logique/fonctions.md) est une relation qui à chaques éléments de A fait corespondre **au plus, un** élément de B \\[ - f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}: x\mapsto y = x^2 + f: A \to B: x\mapsto y = x^2 \\] **Atention, A n'est pas forcément le domaine** mais \\(f \subseteq A\\) Toujours @@ -60,36 +60,56 @@ C'est une suite arithmétique de raison 4 (Pour passer à l'élément suivant on \\[ \forall n \in \mathbb{N} \quad x_n = x_0 * q^n \\] + ## Convergence -1) \\((x_n)\\) converge vers un réel a si \\(x_n\\) est proche de a lorsque n devient grand +Une suite \\((x_n)\\) converge vers un réel a si + +1) \\(x_n\\) est proche de a lorsque n devient grand 2) La distance entre \\(x_n\\) et a est de plus en plus petite (peut contenir l'élément vers lequel il converge (ex: \\((0)_{n \in \mathbb{N}}\\)) -3) Une suite \\((x_n)\\) converge vers un réel a si la distance entre \\(x_n \text{ et } a\\) peut être rendue aussi petite que je le veux. +3) La distance entre \\(x_n \text{ et } a\\) peut être rendue aussi petite que je le veux. - Donc \\(d(x_n, a) = |x_n - a| \leq \varepsilon, \varepsilon \in \mathbb{R}\\) -- **Unicitée de la limite**: - - Soient \\((x_n) \subseteq \mathbb{R} \text{ et } a_1, a_2 \in \mathbb{R}\\) - - Si \\((x_n)\\) converge à la fois vers \\(a_1 \text{ et vers } a_2 \text{ alors } a_1 = a_2\\) +- \\( (x\_n) **Converge au sens large** \\) + - si \\( (x\_n) \xrightarrow[n \to \infty]{}\begin{cases} a \\\\ +\infty \\\\ -\infty\end{cases} \\) + +## Unicitée de la limite + +- Soient \\((x_n) \subseteq \mathbb{R} \text{ et } a_1, a_2 \in \mathbb{R}\\) + - Si \\((x_n)\\) converge à la fois vers \\(a_1 \text{ et vers } a_2 \text{ alors } a_1 = a_2\\) ### Notation +### Convergence + Pour exprimer que \\((x_n)\\) converge vers a: \\[ x_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} a \quad \text{ Ou } \quad \lim_{n \to +\infty}x_n = a \\] +### Partie entière + +- La partie entière de \\(x\\) se nôte: \\([x]\\) + - représente le plus grand entier inférieur à \\(x\\) + - ex: \\([-5.3] = -6\\) + +- L'entiers supérieur de \\(y\\) se nôte: \\(\lceil y \rceil\\) + - représente le plus petit entier supérieur ou égal à \\(y\\) + - ex: \\(\lceil \pi \rceil = 4\\) + + ### Regles de calculs -1) La suite de constante \\(a \in \mathbb{R}\\), noté \\((a)_{n \in \mathbb{N}}\\) converge vers a +1) \\((a)\_{n \in \mathbb{N}} \xrightarrow[n \to \infty]{} a\\) 2) \\((\frac{1}{n^P}) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 \text{ si } P > 0\\) 3) \\((a^n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 \text{ si } a \in ]-1,1[\\) -- Soient \\(a, b \in \mathbb{R}\\) et \\((x_n), (y_n)\\) deux suites de réels. - - On suppose que \\(\lim\limits_{n \to \infty} x_n = a \\) - - On suppose que \\(\lim\limits_{n \to \infty} y_n = b \\) +- Soient \\(a, b \in \mathbb{R}\\) et \\((x_n) , (y_n) \subseteq \mathbb{R}\\) . + - On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a \\) + - On suppose que \\( (y_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} b \\) 1) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n + y_n = a + b\\) 2) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n * y_n = a * b\\) - 3) \\(\lim\limits_{n \to \infty}\frac{x_n}{y_n} = \frac{a}{b}\\) + 3) \\(\lim\limits_{n \to \infty}\frac{x_n}{y_n} = \frac{a}{b} \text{ si } b \neq 0\\) ## Comparaison des suites @@ -109,3 +129,48 @@ Pour se faire nous avons besoin d'une intuition pour a 2) Si \\(\forall n, y_n \leq x_n \leq z_n\\) - Alors \\(x_n \xrightarrow[x \to +\infty]{} a\\) +## Les sous-suites + +Pour construire une sous-suite, on pioche des éléments. mais: +1) On ne peut pas piocher 2x les mêmes éléments +2) On doit réspécter l'ordre d'apparition des éléments + +- Soient \\( (x_n)\_{n \in I}\subseteq \mathbb{R}, (y_n)\_{n \in J}\subseteq \mathbb{R}\\) + - \\( (y_n)\\) est une **Sous-suite** de \\((x_n)\\) Si: + - Il existe une [application](../logique/fonctions.md) \\(\varphi : J \to I\\) strictement croissante + - \\(\forall n \in J , y_n = x\_{\varphi(n)}\\) + - Alors \\((y\_n) \subseteq (x\_n)\\) + +### Proposition + +- Soient \\((x\_n) \subseteq \mathbb{R}, (y\_n) \subseteq \mathbb{R} \text{ et } a \in \mathbb{R}\\) + - Si \\( (x\_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a \\) et que \\((y\_n)\\) est une sous-suite de \\((x\_n)\\) + - Alors \\((y\_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a\\) + +- Soient \\((x_n), (y_n), (z_n) \subseteq \mathbb{R}, a \in \mathbb{R} \\) + - Si \\((y\_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a \text{ et } (z\_n)\xrightarrow[n \to \infty]{} a\\) deux sous-suites exhaustives de \\((x\_n)\\) + - Alors, \\((x\_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a\\) + + +### L'exhaustivitée + +- Soient \\( (x\_n)\_{n \in I}, (y\_n)\_{n \in J\_1}, (z\_n)\_{n \in J\_2} \subseteq \mathbb{R}\\) + - On suppose que \\( (y\_n) \text{ et } (z\_n)\\) sont des sous-suites de \\((x\_n)\\), càd + \\[ + \exists \varphi\_1 : J\_1 \to I \text{ strictement croissante et } y\_n = x\_{\varphi\_1 (n)} \\\\ + \exists \varphi\_2 : J\_2 \to I \text{ strictement croissante et } z\_n = x\_{\varphi\_2 (n)} + \\] + - Alors, \\( (y\_n) et (z\_n)\\) sont des sous-suites **Exhaustives** de \\((x\_n) \text{ si } \varphi\_1(J\_1) \cup \varphi\_2(J\_2) = I\\) + +## Convergence vers + ou - \\(\infty\\) + +On dit qu'une suite converge vers \\(\pm \infty\\) si les éléments de la suite deviennent aussi grand qu'on veut dans ls positifs/négatifs +pour autant que n soit suffisament grand + +La notation reste inchangée, l'unicitée de la limite est d'applications + +\\((x_n)\\) **converge au sens large** si \\(\begin{align}x\_n \xrightarrow[]{} & a ( a \in \mathbb{R} ) \\\\ &+\infty \\\\ &-\infty\end{align}\\) + +- \\( n^p \xrightarrow[]{} +\infty \text{ si } p > 0\\) +- \\( a^n \xrightarrow[]{} +\infty \text{ si } a > 1\\) + diff --git a/src/math/calculus/index.md b/src/math/calculus/index.md index 9452f5d..7b5503e 100644 --- a/src/math/calculus/index.md +++ b/src/math/calculus/index.md @@ -1 +1,6 @@ # Calculus + +## Correction + +Remettre les correction d'exercices Supplémentaires à [Stéphanie Bridoux](mailto:Stephanie.Bridoux@umons.ac.be) +Potentiellement à son bureau au Batiment **De Vinci 2e étage**