From 88fb0508a8c7309225262ff3239ff40fbedb3382 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Anthony Debucquoy Date: Sat, 17 Dec 2022 07:50:42 +0100 Subject: [PATCH] . --- src/math/calculus/chap1.md | 242 ++++++++++++++++++++++--------------- 1 file changed, 143 insertions(+), 99 deletions(-) diff --git a/src/math/calculus/chap1.md b/src/math/calculus/chap1.md index c123268..56f871b 100644 --- a/src/math/calculus/chap1.md +++ b/src/math/calculus/chap1.md @@ -32,7 +32,149 @@ Si ces conditions permettent une suite **infinie** On cherche la valeur ordonné - Une **suite** est une fonction tel que - \\(I \to \mathbb{R}: n \mapsto x_n \text{ où } I = \mathbb{N}^{\geq k} \text{ où } k\in \mathbb{N}\\) -## Notation +### Borne ou majoration + +On dit qu'une suite est **majorée** ou **bornée supérieurement** / **minorée** ou **bornée inférieurement** s'il existe +\\[R \in \mathbb{R} \quad \forall n \in I, x\_n \leq R \text { / } x\_n \geq R\\] Ce \\(R\\) est appelé un **majorant** / un **minorant** + +- Soient \\((x_n) , (y_n) \subseteq \mathbb{R}\\) . + - On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} + \infty \quad (y_n) \text{ est bornée inférieurement }\\) + - \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n + y_n = + \infty\\) + - On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} + \infty \quad \exists n\\\) + +## Convergence + +Une suite \\((x_n)\\) converge vers un réel a si + +1) \\(x_n\\) est proche de a lorsque n devient grand +2) La distance entre \\(x_n\\) et a est de plus en plus petite (peut contenir l'élément vers lequel il converge (ex: \\((0)_{n \in \mathbb{N}}\\)) +3) La distance entre \\(x_n \text{ et } a\\) peut être rendue aussi petite que je le veux. + - Donc \\(d(x_n, a) = |x_n - a| \leq \varepsilon, \varepsilon \in \mathbb{R}\\) + +- \\( (x\_n) **Converge au sens large** \\) + - si \\( (x\_n) \xrightarrow[n \to \infty]{}\begin{cases} a \\\\ +\infty \\\\ -\infty\end{cases} \\) + +### Convergence vers + ou - \\(\infty\\) + +On dit qu'une suite converge vers \\(\pm \infty\\) si les éléments de la suite deviennent aussi grand qu'on veut dans ls positifs/négatifs +pour autant que n soit suffisament grand + +La notation reste inchangée, l'unicitée et l'exhaustivitée des limites sont d'applications + +\\((x_n)\\) **converge au sens large** si \\(\begin{align}x\_n \xrightarrow[]{} & a ( a \in \mathbb{R} ) \\\\ &+\infty \\\\ &-\infty\end{align}\\) + + +### Unicitée de la limite + +- Soient \\((x_n) \subseteq \mathbb{R} \text{ et } a_1, a_2 \in \mathbb{R}\\) + - Si \\((x_n)\\) converge à la fois vers \\(a_1 \text{ et vers } a_2 \text{ alors } a_1 = a_2\\) + +### Régles de calculs + +1) \\((a)\_{n \in \mathbb{N}} \xrightarrow[n \to \infty]{} a\\) + +2) - \\((\frac{1}{n^p}) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 \text{ si } p > 0\\) + - \\( n^p \xrightarrow[]{} +\infty \text{ si } p > 0\\) + +3) - \\((a^n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 \text{ si } a \in ]-1,1[\\) + - \\((a^n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1 \text{ si } a = 1\\) + - \\((a^n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} + \infty \text{ si } a > 1\\) + - \\((a^n) \text{ ne converge pas si } a \leq -1\\) + +- Soient \\(a, b \in \mathbb{R}\\) et \\((x_n) , (y_n) \subseteq \mathbb{R}\\) . + - On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a \quad (y_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} b \\) + 1) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n + y_n = a + b\\) + 2) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n * y_n = a * b\\) + 3) \\(\lim\limits_{n \to \infty}\frac{x_n}{y_n} = \frac{a}{b} \text{ si } b \neq 0\\) + - On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} + \infty \quad (y_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} + \infty \\) + 1) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n + y_n = + \infty\\) + 2) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n * y_n = + \infty\\) + - On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} - \infty \quad (y_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} - \infty \\) + 1) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n + y_n = - \infty\\) + 2) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n * y_n = + \infty\\) + - On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} + \infty \quad (y_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a \\) + 1) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n + y_n = + \infty\\) + 2) Si \\(a > 0 \quad \lim\limits_{n \to \infty}x_n * y_n = + \infty\\) + - On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} - \infty \quad (y_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a \\) + 1) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n + y_n = - \infty\\) + 2) Si \\(a < 0 \quad \lim\limits_{n \to \infty}x_n * y_n = - \infty\\) + - On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} + \infty \quad (y_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} - \infty \\) + 1) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n + y_n = \\) Indéterminé[^indéterminé] + 2) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n * y_n = - \infty\\) + - On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} \pm \infty \quad (y_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 \\) + 1) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n * y_n = \\) Indéterminé[^indéterminé] + +[^indéterminé]: Dans le cas d'indétermination il faut [Lever l'indétermination](./chap1.html#lever-lindétermination) + +#### Lever l'indétermination + +Lorsqu'un résultat est un cas d'indétermination, ca ne veux pas dire qu'on ne peux pas prévoir ce qu'il va se passer... + +On peut avoir: +- \\(x\_n + y\_n \to + \infty\\) +- \\(x\_n + y\_n \to - \infty\\) +- \\(x\_n + y\_n \to a \in \mathbb{R}\\) +- \\(x\_n + y\_n \\) ne converge pas + +On étudie alors la vitesse de croissance de chaques suites et tirons une conclusion + +## Comparaison des suites + +### Théorem de la convergence dominée + +Pour se faire nous avons besoin d'une intuition pour a + +- Soient \\((x_n), (y_n) \subseteq \mathbb{R}, a \in \mathbb{R} \\) + 1) Si \\((y_n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0\\) + 2) Si \\(\forall n, |x_n - a| \leq y_n\\) + - Alors \\(x_n \xrightarrow[x \to +\infty]{} a\\) + +- Soient \\((x_n), (y_n) \subseteq \mathbb{R} \\) + 1) Si \\((y_n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} \pm \infty\\) + 2) Si \\(\exists n^\ast \in \mathbb{N}, \forall n \geq n^\ast, x\_n \geq y\_n\\) + - Alors \\(x_n \xrightarrow[x \to +\infty]{} \pm \infty\\) + +### Théorem du Sandwich + +- Soient \\((x_n), (y_n), (z_n) \subseteq \mathbb{R}, a \in \mathbb{R} \\) + 1) Si \\((y_n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} a \text{ et } (z_n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} a\\) + 2) Si \\(\forall n, y_n \leq x_n \leq z_n\\) + - Alors \\(x_n \xrightarrow[x \to +\infty]{} a\\) + +## Les sous-suites + +Pour construire une sous-suite, on pioche des éléments. mais: +1) On ne peut pas piocher 2x les mêmes éléments +2) On doit réspécter l'ordre d'apparition des éléments + +- Soient \\( (x_n)\_{n \in I}\subseteq \mathbb{R}, (y_n)\_{n \in J}\subseteq \mathbb{R}\\) + - \\( (y_n)\\) est une **Sous-suite** de \\((x_n)\\) Si: + - Il existe une [application](../logique/fonctions.md) \\(\varphi : J \to I\\) strictement croissante + - \\(\forall n \in J , y_n = x\_{\varphi(n)}\\) + - Alors \\((y\_n) \subseteq (x\_n)\\) + +### Propositions: Rapport des sous-suites et des suites + +- Soient \\((x\_n) \subseteq \mathbb{R}, (y\_n) \subseteq \mathbb{R} \text{ et } a \in \mathbb{R}\\) + - Si \\( (x\_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a \\) et que \\((y\_n)\\) est une sous-suite de \\((x\_n)\\) + - Alors \\((y\_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a\\) + +- Soient \\((x_n), (y_n), (z_n) \subseteq \mathbb{R}, a \in \mathbb{R} \\) + - Si \\((y\_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a \text{ et } (z\_n)\xrightarrow[n \to \infty]{} a\\) deux sous-suites exhaustives de \\((x\_n)\\) + - Alors, \\((x\_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a\\) + + +### L'exhaustivitée + +- Soient \\( (x\_n)\_{n \in I}, (y\_n)\_{n \in J\_1}, (z\_n)\_{n \in J\_2} \subseteq \mathbb{R}\\) + - On suppose que \\( (y\_n) \text{ et } (z\_n)\\) sont des sous-suites de \\((x\_n)\\), càd + \\[ + \exists \varphi\_1 : J\_1 \to I \text{ strictement croissante et } y\_n = x\_{\varphi\_1 (n)} \\\\ + \exists \varphi\_2 : J\_2 \to I \text{ strictement croissante et } z\_n = x\_{\varphi\_2 (n)} + \\] + - Alors, \\( (y\_n) et (z\_n)\\) sont des sous-suites **Exhaustives** de \\((x\_n) \text{ si } \varphi\_1(J\_1) \cup \varphi\_2(J\_2) = I\\) + +## Notations le terme générale d'une suite est noté \\[ @@ -60,26 +202,6 @@ C'est une suite arithmétique de raison 4 (Pour passer à l'élément suivant on \\[ \forall n \in \mathbb{N} \quad x_n = x_0 * q^n \\] - -## Convergence - -Une suite \\((x_n)\\) converge vers un réel a si - -1) \\(x_n\\) est proche de a lorsque n devient grand -2) La distance entre \\(x_n\\) et a est de plus en plus petite (peut contenir l'élément vers lequel il converge (ex: \\((0)_{n \in \mathbb{N}}\\)) -3) La distance entre \\(x_n \text{ et } a\\) peut être rendue aussi petite que je le veux. - - Donc \\(d(x_n, a) = |x_n - a| \leq \varepsilon, \varepsilon \in \mathbb{R}\\) - -- \\( (x\_n) **Converge au sens large** \\) - - si \\( (x\_n) \xrightarrow[n \to \infty]{}\begin{cases} a \\\\ +\infty \\\\ -\infty\end{cases} \\) - -## Unicitée de la limite - -- Soient \\((x_n) \subseteq \mathbb{R} \text{ et } a_1, a_2 \in \mathbb{R}\\) - - Si \\((x_n)\\) converge à la fois vers \\(a_1 \text{ et vers } a_2 \text{ alors } a_1 = a_2\\) - -### Notation - ### Convergence Pour exprimer que \\((x_n)\\) converge vers a: @@ -96,81 +218,3 @@ Pour exprimer que \\((x_n)\\) converge vers a: - L'entiers supérieur de \\(y\\) se nôte: \\(\lceil y \rceil\\) - représente le plus petit entier supérieur ou égal à \\(y\\) - ex: \\(\lceil \pi \rceil = 4\\) - - -### Regles de calculs - -1) \\((a)\_{n \in \mathbb{N}} \xrightarrow[n \to \infty]{} a\\) -2) \\((\frac{1}{n^P}) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 \text{ si } P > 0\\) -3) \\((a^n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 \text{ si } a \in ]-1,1[\\) - -- Soient \\(a, b \in \mathbb{R}\\) et \\((x_n) , (y_n) \subseteq \mathbb{R}\\) . - - On suppose que \\( (x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a \\) - - On suppose que \\( (y_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} b \\) - 1) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n + y_n = a + b\\) - 2) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n * y_n = a * b\\) - 3) \\(\lim\limits_{n \to \infty}\frac{x_n}{y_n} = \frac{a}{b} \text{ si } b \neq 0\\) - -## Comparaison des suites - -### Théorem de la convergence dominée - -Pour se faire nous avons besoin d'une intuition pour a - -- Soient \\((x_n), (y_n) \subseteq \mathbb{R}, a \in \mathbb{R} \\) - 1) Si \\((y_n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0\\) - 2) Si \\(\forall n, |x_n - a| \leq y_n\\) - - Alors \\(x_n \xrightarrow[x \to +\infty]{} a\\) - -### Théorem du Sandwich - -- Soient \\((x_n), (y_n), (z_n) \subseteq \mathbb{R}, a \in \mathbb{R} \\) - 1) Si \\((y_n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} a \text{ et } (z_n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} a\\) - 2) Si \\(\forall n, y_n \leq x_n \leq z_n\\) - - Alors \\(x_n \xrightarrow[x \to +\infty]{} a\\) - -## Les sous-suites - -Pour construire une sous-suite, on pioche des éléments. mais: -1) On ne peut pas piocher 2x les mêmes éléments -2) On doit réspécter l'ordre d'apparition des éléments - -- Soient \\( (x_n)\_{n \in I}\subseteq \mathbb{R}, (y_n)\_{n \in J}\subseteq \mathbb{R}\\) - - \\( (y_n)\\) est une **Sous-suite** de \\((x_n)\\) Si: - - Il existe une [application](../logique/fonctions.md) \\(\varphi : J \to I\\) strictement croissante - - \\(\forall n \in J , y_n = x\_{\varphi(n)}\\) - - Alors \\((y\_n) \subseteq (x\_n)\\) - -### Proposition - -- Soient \\((x\_n) \subseteq \mathbb{R}, (y\_n) \subseteq \mathbb{R} \text{ et } a \in \mathbb{R}\\) - - Si \\( (x\_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a \\) et que \\((y\_n)\\) est une sous-suite de \\((x\_n)\\) - - Alors \\((y\_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a\\) - -- Soient \\((x_n), (y_n), (z_n) \subseteq \mathbb{R}, a \in \mathbb{R} \\) - - Si \\((y\_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a \text{ et } (z\_n)\xrightarrow[n \to \infty]{} a\\) deux sous-suites exhaustives de \\((x\_n)\\) - - Alors, \\((x\_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} a\\) - - -### L'exhaustivitée - -- Soient \\( (x\_n)\_{n \in I}, (y\_n)\_{n \in J\_1}, (z\_n)\_{n \in J\_2} \subseteq \mathbb{R}\\) - - On suppose que \\( (y\_n) \text{ et } (z\_n)\\) sont des sous-suites de \\((x\_n)\\), càd - \\[ - \exists \varphi\_1 : J\_1 \to I \text{ strictement croissante et } y\_n = x\_{\varphi\_1 (n)} \\\\ - \exists \varphi\_2 : J\_2 \to I \text{ strictement croissante et } z\_n = x\_{\varphi\_2 (n)} - \\] - - Alors, \\( (y\_n) et (z\_n)\\) sont des sous-suites **Exhaustives** de \\((x\_n) \text{ si } \varphi\_1(J\_1) \cup \varphi\_2(J\_2) = I\\) - -## Convergence vers + ou - \\(\infty\\) - -On dit qu'une suite converge vers \\(\pm \infty\\) si les éléments de la suite deviennent aussi grand qu'on veut dans ls positifs/négatifs -pour autant que n soit suffisament grand - -La notation reste inchangée, l'unicitée de la limite est d'applications - -\\((x_n)\\) **converge au sens large** si \\(\begin{align}x\_n \xrightarrow[]{} & a ( a \in \mathbb{R} ) \\\\ &+\infty \\\\ &-\infty\end{align}\\) - -- \\( n^p \xrightarrow[]{} +\infty \text{ si } p > 0\\) -- \\( a^n \xrightarrow[]{} +\infty \text{ si } a > 1\\) -