From 5a0fc2f7821b0bc8dbe3f17d5c2d099f2202280a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Anthony Debucquoy Date: Mon, 8 May 2023 20:55:28 +0200 Subject: [PATCH] diagonalisation --- src/math/all/matrix.md | 2 ++ src/math/all/vpropres.md | 17 ++++++++++++++++- 2 files changed, 18 insertions(+), 1 deletion(-) diff --git a/src/math/all/matrix.md b/src/math/all/matrix.md index 614682a..995a105 100644 --- a/src/math/all/matrix.md +++ b/src/math/all/matrix.md @@ -213,3 +213,5 @@ donc de la forme 0 &0 &z\\\\ \end{pmatrix} \\] + +Remarque: Diagonaliser une matrice associée à \\( L : V \to V \\) revient à trouver une base de V constituée de [vecteur propres](./vpropres.md) de L diff --git a/src/math/all/vpropres.md b/src/math/all/vpropres.md index 18c6686..4992848 100644 --- a/src/math/all/vpropres.md +++ b/src/math/all/vpropres.md @@ -2,6 +2,21 @@ - Soit \\( M \\) une matrice \\( n \times n \\). Soit \\( L: V \to V \\) une application linéaire - Soit \\( v \in V \\) un vecteur **Non-Nul**. - - On dit que \\( v \\) est un **Vecteur propre** de \\( L/M \\) ssi + - On dit que \\( v \\) est un **vecteur propre** de \\( L/M \\) ssi - \\( \exists \lambda \in \mathbb{R} \quad L(v) = \lambda v / Mv = \lambda v \\) - Ce \\( \lambda est la **valeur propre** associée à v \\) + - l'ensemble des vecteurs propres d'une valeur propres est **un espace propre** + +En passant par les matrice, on a bien que \\( Mv = \lambda v \\) et on peut transformer cette equation en \\( (M - \lambda 𝟙 )* v = 0 \\) + +Pour isoler lambda on peut alors faire \\( det(M - \lambda 𝟙 ) = 0 \\) qui nous permet alors de trouver les vecteurs et espaces propres + +## Diagonalisable + +- Soit \\( L : V \to V \quad dim(V) = n \\) + - L est [**Diagonalisable**](./matrix.md#diagonalisation) ssi + - Il existe n vecteurs propres de L linéairement indépendants + +- Donc toutes les matrices ne sont pas diagonalisables! + - Si pas dans \\( \mathbb{R} \\) pour être dans les complexes + - attention aux dimentiosn de l'éspaces propre