From 541fb517cc3e39a21d28dc686681e80df067e3ea Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Anthony Debucquoy Date: Thu, 24 Nov 2022 09:53:38 +0100 Subject: [PATCH] calculus 3e cours in progress --- src/math/calculus/chap1.md | 44 +++++++++++++++++++++++++------------- 1 file changed, 29 insertions(+), 15 deletions(-) diff --git a/src/math/calculus/chap1.md b/src/math/calculus/chap1.md index 8a8f57a..6965a0e 100644 --- a/src/math/calculus/chap1.md +++ b/src/math/calculus/chap1.md @@ -6,20 +6,6 @@ Une **Suite** est une collection de nombres **Infinie** et **Ordonée** de nombr Nous cherchons à savoir quelle est la valeur de l'élément situé à une position donnée -## Exemples - -- 0,1,2,3,4,5,6,... - - \\(\forall n \in \mathbb{N}, X_n = n\\) -- 0,1,4,9,16,25,... - - \\(\forall n \in \mathbb{N}, X_n = n^2\\) -- 4,4,4,4,4,4,4,... - - \\(\forall n \in \mathbb{N}, X_n = 4\\) -- 1, \\(\frac{1}{2}\\), \\(\frac{1}{3}\\), \\(\frac{1}{4}\\), \\(\frac{1}{5}\\), ... - - \\(\forall n \in \mathbb{N}, X_n = \frac{1}{n}\\) -- 1,-1,1,-1,1,-1, ... - - \\(\forall n \in \mathbb{N}, X_n = (-1)^n \\) - - \\(\forall n \in \mathbb{N}, X_n = \begin{cases} 1 &\implies n \in 2\mathbb{N}\\\\ -1 &\implies n \in 2\mathbb{N}+1 \end{cases} \\) - ## Fonctions On parle alors de fonction pour définir une suite: @@ -70,8 +56,36 @@ C'est une suite arithmétique de raison 4 (Pour passer à l'élément suivant on - Une **suite géométrique** \\((x_n)_{n\in \mathbb{N}}\\) est définie par: - \\(\begin{cases} x_0 \in \mathbb{R} \\\\ \forall n \in \mathbb{N} \quad x_{n + 1} = qx_n \end{cases}\\) - - r est la raison + - q est la raison \\[ \forall n \in \mathbb{N} \quad x_n = x_0 * q^n \\] +## Convergence +1) \\((x_n)\\) converge vers un réel a si \\(x_n\\) est proche de a lorsque n devient grand +2) La distance entre \\(x_n\\) et a est de plus en plus petite (peut contenir l'élément vers lequel il converge (ex: \\((0)_{n \in \mathbb{N}}\\)) +3) Une suite \\((x_n)\\) converge vers un réel a si la distance entre \\(x_n \text{ et } a\\) peut être rendue aussi petite que je le veux. + +- **Unicitée de la limite**: + - Soient \\((x_n) \subseteq \mathbb{R} \text{ et } a_1, a_2 \in \mathbb{R}\\) + - Si \\((x_n)\\) converge à la fois vers \\(a_1 \text{ et vers } a_2 \text{ alors } a_1 = a_2\\) + +### Notation + +Pour exprimer que \\((x_n)\\) converge vers a: +\\[ + x_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} a \quad \text{ Ou } \quad \lim_{n \to +\infty}x_n = a +\\] + +### Regles de calculs + +1) La suite de constante \\(a \in \mathbb{R}\\), noté \\((a)_{n \in \mathbb{N}}\\) converge vers a +2) \\((\frac{1}{n^P}) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 \text{ si } P > 0\\) +3) \\((a^n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 \text{ si } a \in ]-1,1[\\) + +- Soient \\(a, b \in \mathbb{R}\\) et \\((x_n), (y_n)\\) deux suites de réels. + - On suppose que \\(\lim\limits_{n \to \infty} x_n = a \\) + - On suppose que \\(\lim\limits_{n \to \infty} y_n = b \\) + 1) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n + y_n = a + b\\) + 2) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n * y_n = a * b\\) + 3) \\(\lim\limits_{n \to \infty}\frac{x_n}{y_n} = \frac{a}{b}\\)