From 541fb517cc3e39a21d28dc686681e80df067e3ea Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Anthony Debucquoy <debucquoy.anthony@gmail.com>
Date: Thu, 24 Nov 2022 09:53:38 +0100
Subject: [PATCH] calculus 3e cours in progress
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src/math/calculus/chap1.md | 44 +++++++++++++++++++++++++-------------
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index 8a8f57a..6965a0e 100644
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@@ -6,20 +6,6 @@ Une **Suite** est une collection de nombres **Infinie** et **Ordonée** de nombr
Nous cherchons à savoir quelle est la valeur de l'élément situé à une position donnée
-## Exemples
-
-- 0,1,2,3,4,5,6,...
- - \\(\forall n \in \mathbb{N}, X_n = n\\)
-- 0,1,4,9,16,25,...
- - \\(\forall n \in \mathbb{N}, X_n = n^2\\)
-- 4,4,4,4,4,4,4,...
- - \\(\forall n \in \mathbb{N}, X_n = 4\\)
-- 1, \\(\frac{1}{2}\\), \\(\frac{1}{3}\\), \\(\frac{1}{4}\\), \\(\frac{1}{5}\\), ...
- - \\(\forall n \in \mathbb{N}, X_n = \frac{1}{n}\\)
-- 1,-1,1,-1,1,-1, ...
- - \\(\forall n \in \mathbb{N}, X_n = (-1)^n \\)
- - \\(\forall n \in \mathbb{N}, X_n = \begin{cases} 1 &\implies n \in 2\mathbb{N}\\\\ -1 &\implies n \in 2\mathbb{N}+1 \end{cases} \\)
-
## Fonctions
On parle alors de fonction pour définir une suite:
@@ -70,8 +56,36 @@ C'est une suite arithmétique de raison 4 (Pour passer à l'élément suivant on
- Une **suite géométrique** \\((x_n)_{n\in \mathbb{N}}\\) est définie par:
- \\(\begin{cases} x_0 \in \mathbb{R} \\\\ \forall n \in \mathbb{N} \quad x_{n + 1} = qx_n \end{cases}\\)
- - r est la raison
+ - q est la raison
\\[ \forall n \in \mathbb{N} \quad x_n = x_0 * q^n \\]
+## Convergence
+1) \\((x_n)\\) converge vers un réel a si \\(x_n\\) est proche de a lorsque n devient grand
+2) La distance entre \\(x_n\\) et a est de plus en plus petite (peut contenir l'élément vers lequel il converge (ex: \\((0)_{n \in \mathbb{N}}\\))
+3) Une suite \\((x_n)\\) converge vers un réel a si la distance entre \\(x_n \text{ et } a\\) peut être rendue aussi petite que je le veux.
+
+- **Unicitée de la limite**:
+ - Soient \\((x_n) \subseteq \mathbb{R} \text{ et } a_1, a_2 \in \mathbb{R}\\)
+ - Si \\((x_n)\\) converge à la fois vers \\(a_1 \text{ et vers } a_2 \text{ alors } a_1 = a_2\\)
+
+### Notation
+
+Pour exprimer que \\((x_n)\\) converge vers a:
+\\[
+ x_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} a \quad \text{ Ou } \quad \lim_{n \to +\infty}x_n = a
+\\]
+
+### Regles de calculs
+
+1) La suite de constante \\(a \in \mathbb{R}\\), noté \\((a)_{n \in \mathbb{N}}\\) converge vers a
+2) \\((\frac{1}{n^P}) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 \text{ si } P > 0\\)
+3) \\((a^n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 \text{ si } a \in ]-1,1[\\)
+
+- Soient \\(a, b \in \mathbb{R}\\) et \\((x_n), (y_n)\\) deux suites de réels.
+ - On suppose que \\(\lim\limits_{n \to \infty} x_n = a \\)
+ - On suppose que \\(\lim\limits_{n \to \infty} y_n = b \\)
+ 1) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n + y_n = a + b\\)
+ 2) \\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n * y_n = a * b\\)
+ 3) \\(\lim\limits_{n \to \infty}\frac{x_n}{y_n} = \frac{a}{b}\\)