From 53cfe9255a7404fddfc3082f4b61ee9d57d8dad9 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Anthony Debucquoy <debucquoy.anthony@gmail.com>
Date: Mon, 6 Mar 2023 22:37:43 +0100
Subject: [PATCH] Finishing Matrix and Relations

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 src/SUMMARY.md         |  3 ++-
 src/math/all/chap1.md  | 26 +++++++++++++++++++++++---
 src/math/all/matrix.md | 26 ++++++++++++++++++++++++++
 3 files changed, 51 insertions(+), 4 deletions(-)

diff --git a/src/SUMMARY.md b/src/SUMMARY.md
index 27b10cd..bfcad9f 100644
--- a/src/SUMMARY.md
+++ b/src/SUMMARY.md
@@ -29,7 +29,8 @@
     - [Les Matrices](./math/all/matrix.md)
 - [Math Discrète](./math/disc/index.md)
     - [Initiation à la théorie des graphe](./math/disc/graph.md)
-    - [Mathématique modulaire](./math/disc/mod.md)
+    - [Nombres Premiers](./math/disc/prime.md)
+    - [Les Relations](./math/disc/relations.md)
 # Physique générale I
 - [Mecanique](./phys/meca/index.md)
 	- [Chapitre 1](./phys/meca/chap1.md)
diff --git a/src/math/all/chap1.md b/src/math/all/chap1.md
index 11f097a..b8edbf3 100644
--- a/src/math/all/chap1.md
+++ b/src/math/all/chap1.md
@@ -9,8 +9,8 @@
 - Soit \\(V \subseteq \mathbb{R} ^n\\)
     - On dit que V est un **Sous-Ensemble Vectoriel** de \\(\mathbb{R}^n\\) ssi
         1) \\(V \neq \emptyset \\)
-        2) \\(\forall v_1 \in V \quad \forall v_2 \in V v_1 + v_2 \in V \\)
-        3) \\(\forall \lambda \in \mathbb{R} \quad \forall v \in V \lambda * v \in V \\)
+        2) \\(\forall v_1 \in V \quad \forall v_2 \in V \quad v_1 + v_2 \in V \\)
+        3) \\(\forall \lambda \in \mathbb{R} \quad \forall v \in V \quad \lambda v \in V \\)
 
 On peut voir par example que pour \\(\mathbb{R}^3\\) nous avons comme sous-ensemble vectoriel (SEV):
 - \\(\\{(0,0)\\}\\) (L'origine du plan)
@@ -50,9 +50,29 @@ Il pourrait alors y avoir plusieurs combinaisons différentes pour la même solu
 
 ## Dépendance linéaire
 
+Qu'est ce que des vecteur linéairement dépendants ?
+
 - Soient \\(v_1 ... v_k \in \mathbb{R}^n\\)
     - On dit que les vecteurs \\(v_1 ... v_k\\) sont **linéairement dépendant**
         - SSI \\(\exists \lambda_1, ..., \lambda_k \in \mathbb{R}\\) **non-tous nuls**
             - tel que \\(\lambda_1 v_1 + ... + \lambda_k v_k = \vec{0}\\)
+                - C'est un ensemble de vecteurs tel que le vecteurs nul en est leurs combinaison linéaire (ou les facteurs sont différents de tous 0)
+    - On dit que les vecteurs \\(v_1 ... v_k\\) sont **linéairement indépendant**
+        - SSI \\( \forall \lambda_1, ..., \lambda_k \in \mathbb{R} \displaystyle\sum_{i=1}^{k} \lambda_i vi = 0 \implies \lambda_1 = ... = \lambda_k = 0 \\) 
+            - La seule combinaison linéaire pour obtenir le vecteur nul est de multiplier tout les vecteurs par 0
 
-Mais en général ca ne nous intéresse pas
+Un ensemble de vecteurs linérairement indépendant est appelé une **Partie ou famille libre **
+
+## Base
+
+- Soit \\( V \subseteq \mathbb{R}^n \\) un SEV
+    - Soient \\( v_1, ..., v_k \in V \\) 
+        - On dit que \\( \\{ v_1, ..., v_k \\}\\) est une **base de V** ssi, et
+            - \\( \\{ v_1, ..., v_k \\}\\) est une **famille libre**
+            - \\( \\{ v_1, ..., v_k \\}\\) est une **famille génératrice de V**
+    - B_1 et B_2 des bases de V:
+        - \\( |B_1| = |B_2| \\) 
+
+> Peut être à ajouter: Déf 17 TODO
+
+        
diff --git a/src/math/all/matrix.md b/src/math/all/matrix.md
index 5f2ed66..a59aba2 100644
--- a/src/math/all/matrix.md
+++ b/src/math/all/matrix.md
@@ -173,3 +173,29 @@ On choisit ensuite une ligne a déveloper, au plus il y a de zeros au mieux c'es
     - Si on développe la ie Ligne
         - \\( \forall 1 \leq i \leq n \quad \det A = \displaystyle\sum_{j=n}^n a_{ij} * C_{ij} \\) 
 
+#### Inverse d'une matrice
+
+Sachant que l'inverse d'un réel \\( x \\) est \\( x^{-1}  \\) tel que \\( x * x^{-1} = 1\\) 
+
+On peut étendre cette définition aux matrice pour que \\( A * A^{-1} * A = \mathbb{I}  \\) 
+Une matrice nxn est inversible ssi \\( \det A \neq 0 \\) 
+
+On peut trouver cette matrice inverse à l'aide de la matrice ompagnon.
+1) On vérifie que le détérminanat est différent de 0
+2) On applique des transformations élémentaires sur A et sur \\( \mathbb{I} \\) en même temps jusqu'a transformer \\( A \text{ en } \mathbb{I}\\) 
+
+> Mais comment utiliser la matrice inverse pour résoudre un system?
+
+On sait que \\( A \cdot x = b \\) est la représentation d'un système en matrice.
+\\[
+\begin{align}
+    A*x &= b \\\\
+    A^{-1} * A * x &= A^{-1} * b \\\\
+    \mathbb{I} * x &= A^{-1} * b \\\\
+    x &= A^{-1} * b
+\end{align}
+\\]
+
+où x est la matrice de variable, on aura donc nos solutions directement en mutlipliant nos matrices
+
+