From 52e62f3557ddb7d531c2b8ce82facf635a633753 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Anthony Debucquoy <debucquoy.anthony@gmail.com>
Date: Tue, 21 Feb 2023 22:50:56 +0100
Subject: [PATCH] matrix + mod

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 src/math/all/matrix.md | 124 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 124 insertions(+)
 create mode 100644 src/math/all/matrix.md

diff --git a/src/math/all/matrix.md b/src/math/all/matrix.md
new file mode 100644
index 0000000..3376d16
--- /dev/null
+++ b/src/math/all/matrix.md
@@ -0,0 +1,124 @@
+# Les Matrices
+
+On considére un system:
+
+\\[
+    \begin{cases}
+        x - 2y + 3z = 4 \\\\
+        2x + y - 4z = 3 \\\\
+        -3x + 5y -z = 0 
+    \end{cases}
+\\]
+
+Un système est caractérisé par ses cohéfficients et par les thermes indépendants.
+Les nombres sont placés à des positions bien précises.
+On peut représenter ces nombres dans un tableau
+
+\\[
+    \begin{pmatrix}
+        1   &-2 &3  &4 \\\\
+        2   &1  &-4 &3 \\\\
+        -3  &5  &-1  &0
+    \end{pmatrix}
+    \text{ On dit que M est une matrice de taille } 3 * 4
+\\]
+
+Une matrice de taille \\( m * n \quad  (m,n \in \mathbb{N}_ 0 ) \\) est un tableau
+dont les éléments sont rangés selon m lignes et n colonnes
+
+\\[
+    A = \begin{pmatrix}
+        a_{11} &a_{12} &\cdots &a_{1n} \\\\
+        a_{21} &a_{22} &\cdots &\vdots \\\\
+        \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\
+        a_{m1} &\cdots &\cdots &a_{mn}
+    \end{pmatrix}
+    a_{23} \text{ est situé 2e ligne, 3e colonne } \\\\
+    A = (a_{ij} a_{ij} \text{ est un terme de } A)
+\\]
+
+## Operations sur les matrices
+
+### Egalitée
+
+ \\( A = B \iff A \text{ et } B \\) ont la même taille et \\( a_{ij} = b_{ij} \quad \forall i,j \\) 
+
+### Transposition
+
+\\( A^t \\)  est la matrice dont les lignes et les colonnes de \\( A \\)  sont inversée
+
+#### Exemple
+
+\\[
+    A = \begin{pmatrix}
+        1 &2 \\\\
+        3 &4
+    \end{pmatrix}
+    A^t = \begin{pmatrix}
+        1 &3 \\\\
+        2 &4
+    \end{pmatrix}
+\\]
+
+### Produit par un scalaire
+
+- Soit \\( A \in \mathbb{R}^{m * n} \quad k \in \mathbb{R}   \\) 
+    - La matrice \\( k * a \\) est une matrice \\( B \\) de taille \\( m * n \\) tel que
+        - \\( b_{ij} ka_{ij} \quad \forall i,j \\) 
+
+#### Exemple
+
+\\[
+    2\begin{pmatrix}
+        1 &2 &3\\\\
+        4 &5 &6
+    \end{pmatrix}
+    = \begin{pmatrix}
+        2 &4 &6\\\\
+        8 &10 &12
+    \end{pmatrix}
+\\]
+
+### Produit de 2 matrices
+
+
+\\[
+    A * B = C \quad 
+    \begin{align}
+        c_{ij} &= a_{ij} * b_{ij} + ... a_{in} * b_{nj} \\\\
+        &= \displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_{ik} * b_{kj}
+    \end{align}
+\\] 
+
+#### Exemple
+
+\\[
+    \begin{pmatrix}
+        2 &1 &-1 \\\\
+        3 &0 &2
+    \end{pmatrix} * 
+    \begin{pmatrix}
+        1 \\\\
+        -2 \\\\
+        2 
+    \end{pmatrix} =
+    \begin{pmatrix}
+        2 - 2 - 2 \\\\
+        3 + 0 + 4
+    \end{pmatrix} =
+    \begin{pmatrix}
+        -2 \\\\
+        7
+    \end{pmatrix}
+\\]
+
+## Résoudre des système d'équation
+
+### Via l'échelonnement des matrices
+
+1) \\( [A | B] \\)  (A augmenté de B)
+2) Echeloner notre matrice ( Grace aux transformations elementaires ci-dessous )
+    - \\( L_i \leftrightarrow  L_j\\) (Echange de lignes)
+    - \\( L_i \gets \alpha L_i \quad \alpha \in \mathbb{R} \\) 
+    - \\( L_i \gets L_i + L_j \\
+3) Revenir au système et trouver S