From 3ca7ce69fb13feab16f3b238c9daad1074669d99 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Anthony Debucquoy <debucquoy.anthony@gmail.com>
Date: Tue, 11 Oct 2022 23:46:41 +0200
Subject: [PATCH] Adding stuff to system from today's class

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 src/math/geo/systems.md | 55 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-
 1 file changed, 54 insertions(+), 1 deletion(-)

diff --git a/src/math/geo/systems.md b/src/math/geo/systems.md
index 804deb6..8ff9986 100644
--- a/src/math/geo/systems.md
+++ b/src/math/geo/systems.md
@@ -1,4 +1,4 @@
-# Les Systems
+# Les Systèmes
 
 ## Intro
 
@@ -24,6 +24,59 @@ On résous donc le system:
 	\end{cases}
 \\]
 
+## Résolution
+
+\\[
+	\begin{cases}
+		ax+by = c \\\\
+		a'x+b'y = c'	
+	\end{cases}
+\\]
+
+- **Géométriquement**: Résoudre ce système revient à chercher les couples de \\((x, y)\\) qui appartiennent simultanément à \\(D \equiv ax + by = c \text{ et } D' \equiv a'x + b'y = c' \\)
+	1) 1 Seul point d'intersection
+		- \\( D \cap D' = \\\{(x^\*, y^\*)\\\} \\)\
+		`ex : l'ensemble des solutions est :` \\(\\\{(\frac{-13}{7},\frac{-11}{7})\\\}\\)
+	2) Aucuns point car \\(D \parallel D'\\) 
+		- \\( D \cap D' = \emptyset \\)
+	3) Tous les points car les droites sont égales.
+		- \\( D \cap D' = D \text{ ou } D' \\)\
+		`ex : l'ensemble des solutions est :` \\(\\\{(\lambda, 2-3\lambda) \vert \lambda \in \mathbb{R}\\\}\\)
+
+- **Algébriquement**: Résoudre ce système revient à  chercher les couples \\((x, y)\\) qui vérifient les 2 équations à la fois
+
+Résoudre un système c'est donner **l'ensemble** des Solutions
+
+## Démonstration 
+
+\\[
+	\begin{align*}
+	D_1 \parallel D_2 &\iff \exists \lambda \in \mathbb{R}_0 \quad (a,b) = \lambda (a', b') \\\\
+			  &\iff \exists \lambda \in \mathbb{R}_0 \quad (a,b) =  (\lambda a', \lambda b') \\\\
+			  &\iff \exists \lambda \in \mathbb{R}_0 \quad a = \lambda a' \text{ et } b = \lambda b' \\\\
+			  &\iff \exists \lambda \in \mathbb{R}_0 \quad \frac{a}{a'} = \lambda \text{ et } \frac{b}{b'} = \lambda \\\\
+			  &\iff ab' - a'b = 0 \\\\
+	\end{align*}
+\\]
+
+> EX SUPP TODO: cas où a' et b' = 0
+
+Nous utiliserons alors le **determinant** du system noté \\(\begin{vmatrix} a & b \\\\ a' & b' \end{vmatrix}\\) 
+
+Donc \\(D_1 \text{ et } D_2\\) sont sécantes \\(\iff ab' - a'b \neq 0\\)\
+Ou, Le systeme à une unique équation \\(\iff ab' - a'b \neq 0\\)
+
+### Méthodes
+
+- **Combinaisons**
+
+le principe est de multiplier l'une, l'autre ou les deux équations par une valeur qui va mettre x ou y à une valeur commune
+une fois fait, il suffit de soustraire les deux équations et l'autre valeurs se dégage
+	
+- **Substitution**
+
+Le principe est de résoudre l'une des équations pour isoler le x ou y dans l'une des équations, puis de remplacer la valeur du x/y dans l'autre équation
+par la nouvelle valeur obtenue et ainsi de suite jusqu'a avoir les valeurs de chaques membres
 
 ## Exemples